Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13111
2023-07-09 
Внутри выпуклого стоугольника выбрано 30 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Стоугольник разрезан на треугольники так, что совокупность вершин всех треугольников состоит из 30 выбранных точек и 100 вершин первоначального многоугольника. Сколько имеется треугольников?
Решение:
Вычислим сумму внутренних углов всех треугольников. Углы треугольников, имеющие вершину в данной внутренней точке, в сумме составляют $360^{ \circ}$. Так как имеется 30 таких точек, то им соответствуют углы, сумма которых равна $360^{ \circ} \cdot 30 = 10800^{ \circ}$. Остаются неучтенные углы, вершины которых совпадают с вершинами стоугольника. Понятно, что они составляют в сумме $180^{ \circ} (100 - 2) = 17640^{ \circ}$. Сумма внутренних углов одного треугольника $180^{ \circ}$, значит, число треугольников $\frac{28440}{180} = 158$.
Внутри выпуклого стоугольника выбрано 30 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Стоугольник разрезан на треугольники так, что совокупность вершин всех треугольников состоит из 30 выбранных точек и 100 вершин первоначального многоугольника. Сколько имеется треугольников?
Решение:
Вычислим сумму внутренних углов всех треугольников. Углы треугольников, имеющие вершину в данной внутренней точке, в сумме составляют $360^{ \circ}$. Так как имеется 30 таких точек, то им соответствуют углы, сумма которых равна $360^{ \circ} \cdot 30 = 10800^{ \circ}$. Остаются неучтенные углы, вершины которых совпадают с вершинами стоугольника. Понятно, что они составляют в сумме $180^{ \circ} (100 - 2) = 17640^{ \circ}$. Сумма внутренних углов одного треугольника $180^{ \circ}$, значит, число треугольников $\frac{28440}{180} = 158$.
