Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$, $AC\parallel DE$, $CE\perp BC$. Докажите, что $EC$ - биссектриса угла $BED$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ некоторая точка диагонали $AC$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AB$ и $CD$, а некоторая точка диагонали $BD$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AD$ и $BC$. Докажите, что $ABCD$ - прямоугольник.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Точка $D$ внутри треугольника такова, что угол $ADC$ вдвое больше угла $ABC$. Докажите, что удвоенное расстояние от точки $B$ до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом $ADC$, равно $AD+DC$.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята такая точка $K$, что $AC=AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ равны, $CD=4BC$, а биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $CD$. Чему может быть равно отношение $AD:AB$?
Подробнее
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB=CD$, выбрана точка $P$ таким образом, что сумма углов $PBA$ и $PCD$ равна $180^{\circ}$. Докажите, что $PB+PC\lt AD$.
Подробнее
Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведении противолежащих сторон.
Подробнее
Два миллиона отмеченных точек целиком расположены внутри окружности, диаметр которой равен 1 см. Существует ли прямая, по каждую сторону от которой находилось бы ровно по одному миллиону таких точек?
Подробнее
Окружность радиус а 15 пересекается с окружностью радиуса 20 под прямым углом. Рассмотрим две области, которые получатся после удаления из соответствующих кругов их общей части. .Чему равна разность их площадей?
Подробнее
Оси симметрии двух прямых круговых цилиндров, диаметр каждого из которых равен 2 см, пересекаются под прямым углом. Чему равен объем общей части этих цилиндров?
Подробнее
Каждое ребро проволочного куба имеет сопротивление 1 0м. .Чему равно сопротивление между двумя противоположными вершинами данного куба?
Подробнее
Периметры некоторого равностороннего треугольника и правильного шестиугольника совпадают. Чему равно отношение их площадей?
Подробнее
Совет директоров одной крупной компании состоит из 15 человек, которые одновременно должны войти в состав 20 комитетов при этом совете. Комитеты требуется составить таким образом, чтобы:
1) каждый директор входил в 4 комитета;
2) в каждый комитет входило по 3 директора;
3) никакие два комитета не содержали бы более одного директора, входящего одновременно в оба эти комитета.
Подробнее
Некий пират решил спрятать свои сокровища на берегу необитаемого острова. Рядом находились два валуна $A$ и $B$, а подальше от берега росли три кокосовые пальмы $C_{1}, C_{2}, C_{3}$. Встав у $C_{1}$, пират отложил отрезок $C_{1}A_{1}$, равный и перпендикулярный отрезку $C_{1}A$, направив его от прямой $C_{A}A$ в сторону, противоположную той, где был треугольник $AC_{1}B$. Аналогичным образом он отложил отрезок $C_{1}B_{1}$ равный и перпендикулярный отрезку $C_{1}B$ и направленный также от треугольника $AC_{1}B$. Затем он отметил $P_{1}$, точку пересечения $AB_{1}$ и $BA_{1}$. Став последовательно в $C_{2}$ и $C_{3}$, он отметил подобным образом точки $P_{2}$ и $P_{3}$ и, наконец, зарыл сокровища в центре круга, описанного вокруг треугольника $P_{1}P_{2}P_{3}$.
Вернувшись через несколько лет на остров, пират обнаружил , что после сильного урагана от кокосовых пальм не осталось и следа. Как ему отыскать свои спрятанные сокровища?
Подробнее
Три веревки привязаны к трем гвоздикам, вбитым в доску $A$, и переплетены между собой, как показано на рисунке. К их свободным концам требуется привязать новые три веревки, концы которых (их также разрешается переплетать между собой) следует прикрепить к трем гвоздикам на доске $B$ таким образом, чтобы, разведя после всех манипуляций доски $A$ и $B$ в стороны, получить три параллельно натянутые веревки. Как это можно сделать?
Подробнее