Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13118
2023-07-09 
Из картона вырезано два одинаковых правильных восьмиугольника. В вершинах одного из них поставлены по порядку (против часовой стрелки) числа от одного до восьми. Можно ли расставить в вершинах другого восьмиугольника те же числа так, чтобы при любом наложении второй фигуры на первую какая-нибудь вершина попадала в вершину с тем же номером.
Решение:
Допустим, что это возможно. Наложим второй восьмиугольник так, чтобы единицы совпадали. Пусть при этом против цифры $i$ на верхнем восьмиугольнике на нижнем находится цифра $a_{i}$ ($a_{1} = 1, 2, \cdots, 8$). Для того, чтобы совместить цифры $a_{i}$ верхнего и нижнего восьмиугольников, можно повернуть верхний восьмиугольник против часовой стрелки на угол $b_{i} \cdot 45^{ \circ}$, где
$b_{i} = \begin{cases} i - a_{i}, если \: i > a_{i}, \\ i - a_{i} + 8, если \: i \leq a_{i}. \end{cases}$
Докажите, что $b_{i}$ принимает все значения $1, 2, \cdots , 8$. Складывая $b_{i}$, получим
$b_{1} + b_{2} + \cdots b_{8} = (1 + 2 + \cdots + 8) - (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{8}) + 8k$
где $k$ - какое-нибудь целое число. Но
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{8} = b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{8} = 1 + 2 + \cdots + 8 = 36$.
Так как 36 не делится на 8, то приходим к противоречию.
Из картона вырезано два одинаковых правильных восьмиугольника. В вершинах одного из них поставлены по порядку (против часовой стрелки) числа от одного до восьми. Можно ли расставить в вершинах другого восьмиугольника те же числа так, чтобы при любом наложении второй фигуры на первую какая-нибудь вершина попадала в вершину с тем же номером.
Решение:
Допустим, что это возможно. Наложим второй восьмиугольник так, чтобы единицы совпадали. Пусть при этом против цифры $i$ на верхнем восьмиугольнике на нижнем находится цифра $a_{i}$ ($a_{1} = 1, 2, \cdots, 8$). Для того, чтобы совместить цифры $a_{i}$ верхнего и нижнего восьмиугольников, можно повернуть верхний восьмиугольник против часовой стрелки на угол $b_{i} \cdot 45^{ \circ}$, где
$b_{i} = \begin{cases} i - a_{i}, если \: i > a_{i}, \\ i - a_{i} + 8, если \: i \leq a_{i}. \end{cases}$
Докажите, что $b_{i}$ принимает все значения $1, 2, \cdots , 8$. Складывая $b_{i}$, получим
$b_{1} + b_{2} + \cdots b_{8} = (1 + 2 + \cdots + 8) - (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{8}) + 8k$
где $k$ - какое-нибудь целое число. Но
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{8} = b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{8} = 1 + 2 + \cdots + 8 = 36$.
Так как 36 не делится на 8, то приходим к противоречию.
