Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13099
2023-06-23 
Докажите. что медианы $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}, CC^{ \prime}$ произвольного треугольника $ABC$ пересекаются в сдной точке.
Решение:
Теорема, обратная известной теореме Чевы, гласит: если три точки, взятые на сторонах треугольника, делят эти стороны на шесть таких отрезков, что произведение трех из них. не имеющих общих концов, равно произведению трех оставшихся отрезков, то прямые, соединяющие данные три точки с противолежащими вершинами треугольника, пересекаются в одной точке.
Поскольку медианы делят стороны треугольника пополам, $(AB^{ \prime}) (CA^{ \prime}) (BC^{ \prime}) = (B^{ \prime}C) (A^{ \prime}B) (C^{ \prime}{A})$, они пересекаются в одной точке.
Более того, из теоремы Чевы следует, что
$\frac{CG}{GC^{ \prime}} = \frac{CB^{ \prime}}{B^{ \prime}A} + \frac{CA^{ \prime}}{A^{ \prime}B} = 1 + 1$.
поэтому $CG = 2GC^{ \prime}$ и $CG = \frac{2}{3}CC^{ \prime}$. Следовательно, медианы пересекаются в точке, расположенной на расстоянии, равном $\frac{2}{3}$ длины каждой медианы от соответствующей вершины треугольника.
Докажите. что медианы $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}, CC^{ \prime}$ произвольного треугольника $ABC$ пересекаются в сдной точке.
Решение:
Теорема, обратная известной теореме Чевы, гласит: если три точки, взятые на сторонах треугольника, делят эти стороны на шесть таких отрезков, что произведение трех из них. не имеющих общих концов, равно произведению трех оставшихся отрезков, то прямые, соединяющие данные три точки с противолежащими вершинами треугольника, пересекаются в одной точке.
Поскольку медианы делят стороны треугольника пополам, $(AB^{ \prime}) (CA^{ \prime}) (BC^{ \prime}) = (B^{ \prime}C) (A^{ \prime}B) (C^{ \prime}{A})$, они пересекаются в одной точке.
Более того, из теоремы Чевы следует, что
$\frac{CG}{GC^{ \prime}} = \frac{CB^{ \prime}}{B^{ \prime}A} + \frac{CA^{ \prime}}{A^{ \prime}B} = 1 + 1$.
поэтому $CG = 2GC^{ \prime}$ и $CG = \frac{2}{3}CC^{ \prime}$. Следовательно, медианы пересекаются в точке, расположенной на расстоянии, равном $\frac{2}{3}$ длины каждой медианы от соответствующей вершины треугольника.
