Среди принятых в университет студентов имеется ровно 50 знающих английский язык, ровно 50 знающих французский язык и ровно 50 знающих немецкий язык (при этом, разумеется, среди студентов могут быть такие, которые знают сразу два или даже все три языка, так что общее число знающих хоть один язык студентов, вообще говоря, меньше $3 \cdot 50 = 150$). Докажите, что всех студентов можно разбить на 5 таких (вообще говоря - не совпадающих по численности) групп, что в каждой группе ровно 10 человек будут знать английский язык, ровно 10 человек - французский и ровно 10 человек - немецкий.
Подробнее
а) На спортивных соревнованиях выступают 20 спортсменов; судят соревнования 9 судей. Каждый судья расставляет в своем списке соревнующихся в порядке от 1-го до 20-го в соответствии с тем, как он расценил их выступления, причем впоследствии оказалось, что оценки всех судей разнятся не слишком значительно: ни один спортсмен не получил у двух судей места, отличающиеся более чем на три. В основу окончательного распределения мест положено «среднее место» спортсмена по оценкам 9 судей, т. е. сумма всех приписанных ему мест, деленная на число судей (на 9). Каково наибольшее возможное значение «среднего места» лучшего из 20 спортсменов?
б) Теннисная федерация присвоила квалификационные номера всем теннисистам страны: 1-й номер - сильнейшему из них, 2-й - следующему по силе, и т.д.; при этом известно, что в состязании теннисистов, номера которых в квалификационном списке разнятся более чем на две единицы, всегда побеждает теннисист с меньшим номером. 1024 теннисиста страны устраивают соревнования по олимпийской системе, т. е. так, что после каждого этапа соревнований все проигравшие выбывают из игры, а оставшиеся разбиваются на пары соперников в следующем туре случайным образам. Спрашивается, какой наибольший номер может иметь победитель таких соревнований?
Подробнее
Спартакиада продолжалась $n$ дней; на ней были разыграны $N$ комплектов медалей; при этом в 1-й День был вручен 1 комплект медалей и 1/7 часть от оставшегося их количества; во 2-й день - 2 комплекта медалей и 1/7 часть от оставшегося их количества; $\cdots$; в предпоследний, $(n-1)$-й день- $(n-1)$ комплект медалей и 1/7 часть всех оставшихся медалей; наконец, в последний день были вручены $n$ последних комплектов медалей. Сколько дней продолжалась спартакиада и сколько комплектов медалей на ней разыгрывалось?
Подробнее
Пять приятелей, один из которых имел обезьяну, купили однажды мешок орехов, которые они предполагали утром следующего дня поделить между собой. Однако ночью один из приятелей проснулся и захотел орехов; он разделил все орехи в мешке на пять равных частей, причем у него остался один лишний орех, который он отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Вслед за ним проснулся другой из хозяев орехов; не зная, что орехи уже кто-то брал, он разделил все оставшееся содержимое мешка снова на пять частей, причем оставшийся лишний орех отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Затем последовательно проделали ту же операцию оставшиеся трое приятелей; при этом каждый из них, не зная о поступке остальных, делил все орехи на пять частей, брал себе пятую часть и каждый раз оставался один лишний орех, который отдавали обезьяне. Наконец, утром все пятеро вместе достали мешок, разделили оставшиеся орехи на пять частей, а один орех, оказавшийся лишним, снова отдали обезьяне. Требуется определить наименьшее число орехов в мешке, при котором возможен подобный раздел их.
Подробнее
Два брата продали принадлежащее им обоим стадо овец, взяв за каждую овцу столько рублей, сколько было овец в стаде. Полученные деньги братья поделили следующим образам: сначала старший брат взял себе десять рублей из вырученной суммы, затем взял десять рублей второй брат, после этого первый брат взял еще десять рублей, и т. д. При этом младшему брату не хватило десяти рублей; поэтому он взял все оставшиеся после дележа мелкие деньги, а кроме того, чтобы дележ был справедливым, старший брат отдал младшему свой перочинный нож. Во что был оценен перочинный нож?
Подробнее
а) С какого дня чаще начинается новый год: с субботы или с воскресенья?
б) На какой день недели чаще всего приходится 30-е число месяца?
Подробнее
Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно разложить на чашках весов, по шесть на каждой чашке, так, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют один и тот же вес.
Подробнее
На прямой стоят две фишки, слева - красная, справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю - слева?
Подробнее
Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого?
Комментарий. Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.
Подробнее
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.
Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.
Подробнее
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Подробнее
В ботаническом определителе растения описываются ста признаками. Каждый из признаков может либо присутствовать, либо отсутствовать. Определитель считается хорошим, если любые два растения различаются более чем по половине признаков. Доказать, что в хорошем определителе не может быть описано более 50 растений.
Подробнее
В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число $k$, затем камни в ящиках делятся на группы по $k$ штук и остаток менее, чем из $k$ штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за 5 ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них а) не более 460 камней; б) не более 461 камня?
Подробнее
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Подробнее
Двое играют на доске $19 \times 94$ клеток. Каждый по очереди отмечает квадрат по линиям сетки (любого возможного размера) и закрашивает его. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Дважды закрашивать клетки нельзя. Кто выиграет при правильной игре и как надо играть?
Подробнее