Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2839
2019-05-06 
Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно разложить на чашках весов, по шесть на каждой чашке, так, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют один и тот же вес.
Решение:
Из условия задачи, прежде всего, следует, что все гири одновременно имеют или четный, или нечетный вес. Действительно, из того, что каждые 12 гирь можно разбить на две группы равного веса, следует, что общий вес каждых 12 гирь четен. При этом общий вес 12 гирь останется четным и в том случае, если произвольную из них заменить отложенной 13-й гирей. А это возможно только в том случае, если вес каждой из 12 гирь четен или нечетен одновременно с весом отложенной 13-й гири, что и приводит к нашему заключению.
Вычтем теперь из весов всех гирь вес самой легкой гири (или самых легких, если их несколько). При этом мы, очевидно, получим новую систему гирь, которая тоже удовлетворяет условиям задачи; следовательно, веса всех новых гирь тоже имеют одинаковую четкость. А так как среди новых гирь имеются «гири» нулевого веса, то вес всех новых гирь должен быть четным. Разделим, веса всех гирь на два; при этом мы получим новую систему гирь, тоже удовлетворяющую условиям задачи.
Предположим теперь, что не все исходные гири имеют одинаковый вес. В таком случае не все гири второй системы, веса которых получаются из весов первоначальных гирь вычитанием веса наилегчайших гирь, будут «нулевыми». В этом случае путем последовательного деления весов всех гирь на два мы, в конце концов, придем к системе гирь, часть из которых имеет четный вес (например, вес «нуль»), а часть - нечетный вес. Но мы уже показали, что такая система гирь не может существовать. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
Примечание. В условии задачи требовалось, чтобы веса всех гирь были целыми числами. Однако нетрудно видеть, что если считать веса гирь числами рациональными, а не целыми, результат задачи не изменится. Действительно, в этом случае, умножив веса всех гирь на некоторый множитель (приведя все веса к общему знаменателю и отбросив знаменатель), можно свести задачу к случаю целых весов. Более того, если позволить весам гирь быть произвольными иррациональными числами, мы все равно сможем утверждать, что все они равны между собой: это следует из того, что можно найти рациональные числа, сколь угодно близкие к данным иррациональным числам (рекомендуем читателю попытаться самостоятельно провести полное доказательство; следует, впрочем, предупредить, что сделать это аккуратно не так уж просто).
Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно разложить на чашках весов, по шесть на каждой чашке, так, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют один и тот же вес.
Решение:
Из условия задачи, прежде всего, следует, что все гири одновременно имеют или четный, или нечетный вес. Действительно, из того, что каждые 12 гирь можно разбить на две группы равного веса, следует, что общий вес каждых 12 гирь четен. При этом общий вес 12 гирь останется четным и в том случае, если произвольную из них заменить отложенной 13-й гирей. А это возможно только в том случае, если вес каждой из 12 гирь четен или нечетен одновременно с весом отложенной 13-й гири, что и приводит к нашему заключению.
Вычтем теперь из весов всех гирь вес самой легкой гири (или самых легких, если их несколько). При этом мы, очевидно, получим новую систему гирь, которая тоже удовлетворяет условиям задачи; следовательно, веса всех новых гирь тоже имеют одинаковую четкость. А так как среди новых гирь имеются «гири» нулевого веса, то вес всех новых гирь должен быть четным. Разделим, веса всех гирь на два; при этом мы получим новую систему гирь, тоже удовлетворяющую условиям задачи.
Предположим теперь, что не все исходные гири имеют одинаковый вес. В таком случае не все гири второй системы, веса которых получаются из весов первоначальных гирь вычитанием веса наилегчайших гирь, будут «нулевыми». В этом случае путем последовательного деления весов всех гирь на два мы, в конце концов, придем к системе гирь, часть из которых имеет четный вес (например, вес «нуль»), а часть - нечетный вес. Но мы уже показали, что такая система гирь не может существовать. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
Примечание. В условии задачи требовалось, чтобы веса всех гирь были целыми числами. Однако нетрудно видеть, что если считать веса гирь числами рациональными, а не целыми, результат задачи не изменится. Действительно, в этом случае, умножив веса всех гирь на некоторый множитель (приведя все веса к общему знаменателю и отбросив знаменатель), можно свести задачу к случаю целых весов. Более того, если позволить весам гирь быть произвольными иррациональными числами, мы все равно сможем утверждать, что все они равны между собой: это следует из того, что можно найти рациональные числа, сколь угодно близкие к данным иррациональным числам (рекомендуем читателю попытаться самостоятельно провести полное доказательство; следует, впрочем, предупредить, что сделать это аккуратно не так уж просто).
