Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2741
2019-04-29 
а) С какого дня чаще начинается новый год: с субботы или с воскресенья?
б) На какой день недели чаще всего приходится 30-е число месяца?
Решение:
а) Наш календарь устроен следующим образом. Каждый год имеет 365 дней. Исключением являются годы, номера которых делятся на 4: эти годы (високосные годы) имеют лишний 366-й день (29 февраля). Однако и это правило имеет исключения: годы, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, имеют не 366 дней, а 365, т. е. не являются високосными; так, 1900 и 1800 гг. не были високосными, не будет високосным и 2100 г., в то время как 2000 г. будет високосным (2000 делится на 400). Задача заключается, в том, чтобы выяснить, каким днем чаще бывает по нашему календарю 1 января: субботой или воскресеньем.
Промежутки, через которые следуют друг за другом числа 1 января, не всегда постоянны, но эти промежутки изменяются периодически, с периодом в 400 лет. При этом 400 лет содержат целое число недель: действительно, невисокосный год содержит 52 недели и еще 1 день, а високосный - 52 недели и 2 дня; в течение четырех лет (из которых один високосный) набегает, таким образом, сверх $4 \cdot 52$ недель еще 5 дней; в течение 400 лет должно было бы набежать еще 500 дней, но так как три года, делящиеся на 100, но не делящиеся на 400, не являются високосными, то за 400 лет сверх $400 \cdot 52$ недель набегает всего $500 - 3 = 497$ дней, т. е. ровно 71 неделя. Поэтому нам достаточно выяснить, каким днем чаще бывает 1 января за какие-либо 400 лет; этим днем будет чаще 1 января и за любые другие 400 лет.
Рассмотрим теперь промежуток в 400 лет с 1901 по 2301 г. Отметим, что если в течение 28 лет каждый четвертый год является високосным (т. е. эти 28 лет не содержат года, номер которого делится на 100, но не делится на 400), то эти 28 лет содержат целое число недель: в течение каждых четырех лет набегает сверх целого числа недель еще 5 дней, а за 28 лет набегает $5 \cdot 7 = 35$ дней, т. е. 5 недель. Теперь отметим, что 1 января 1952 г. было вторником. Так как каждый невисокосный год содержит целое число недель и один день, а високосный - целое число недель и 2 дня, то I января 1953 г. - четверг (1952 г. - високосный), 1 января 1954 г. - пятница, 1 января 1955 г. - суббота, и т. д.; точно так же 1 января 1951 г. было понедельником, 1 января 1950 г. было воскресеньем, и т. д. Таким образом, подсчитываем, что за 28 лет с 1929 по 1956 г. 1 января является каждым из семи дней недели ровно по 4 раза. Точно такое же распределение дней, с которых начинается новый, год, было и в течение 28 лет с 1901 по 1928 г. (напоминаем, что 28 лет, среди которых каждый четвертый является високосным, содержит целое число недель, и, следовательно, через каждые 28 лет будет повторяться точно такое же распределение первых дней года, как и в предыдущие 28 лет); такое же распределение первых дней года будет и в периоды 1957-1984, 1985-2012 (2000 г., как делящийся на 400, будет високосным), 2013-2040, 2041-2068 и 2069-2096 гг. Итак, в промежутке 1901-2096 гг. 1 января будет одинаковое число раз каждым днем недели.
Далее, 1 января 2097 г. будет тем же самым днем, что 1 января 1901 г. или 1 января 1929 г., т. е. вторником, 1 января 2098 г. будет средой, 1 января 2099 г.- четвергом, 1 января 2100 г.- пятницей, 1 января 2101 г.- субботой (2100 год не будет високосным). Последующие 28 лет будут отличаться от промежутка 1901-1928 гг. тем, что они начались не со вторника, а с субботы; это вызовет соответствующую перестановку дней, которыми будут являться 1 января; однако, так как в течение 28 лет с 1901 по 1928 г. 1 января было ровно по 4 раза каждым днем недели, то и в промежутке с 2101 по 2128 г. 1 января будет каждым днем недели по 4 раза. Это соображение относится и к промежуткам 2129-2156 гг. и 2157-2184 гг.; 2185 г. начнется с того же самого дня, что и 2101, т. е. с субботы. Это позволяет определить, с каких дней будут начинаться годы с 2185 по 2201. Простой подсчет показывает, что в промежутке между 2185 и 2200 гг. 1 января будет по 2 раза понедельником, средой, четвергом, пятницей и субботой и по 3 раза - воскресеньем и вторником. 1 января 2201 г. будет четвергом. В течение $3 \cdot 28 = 84$ лет с 2201 по 2284 г. 1 января будет каждым днем недели одинаковое число раз. 1 января 2285 г. будет тем же днем, что и 1 января 2201 г., т. е. четвергом. Это позволяет определить распределение дней, с которых начинается год в интервале с 2285 по 2300 г.; оказывается, в течение этого интервала 1 января будет по 2 раза понедельником, вторником, средой, четвергом и субботой и по 3 раза - воскресеньем и пятницей. Таким образом, сверх тех периодов, в течение которых 1 января бывает одинаковое число раз каждым днем недели, мы получили еще $2 + 2 = 4$ понедельника, $1 + 3 + 2 = 6$ вторников, $1 + 2 + 2 = 5$ сред, $1 + 2 + 2 = 5$ четвергов, $1 + 2 + 3 = 6$ пятниц, $2 + 2 = 4$ субботы и $3 + 3 = 6$ воскресений. Отсюда следует, что 1 января чаще бывает воскресеньем, чем субботой.
б) Аналогично решению задачи 29а) можно показать, что в интервале 400 лет 30-е число бывает воскресеньем 687 раз, понедельником 685 раз, вторником 685 раз, средой 687 раз, четвергом 684 раза, пятницей 688 раз, субботой 684 раза. Итак, чаще всего 30-е число приходится на пятницу.
Ответ: с воскресенья, б) На пятницу.
а) С какого дня чаще начинается новый год: с субботы или с воскресенья?
б) На какой день недели чаще всего приходится 30-е число месяца?
Решение:
а) Наш календарь устроен следующим образом. Каждый год имеет 365 дней. Исключением являются годы, номера которых делятся на 4: эти годы (високосные годы) имеют лишний 366-й день (29 февраля). Однако и это правило имеет исключения: годы, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, имеют не 366 дней, а 365, т. е. не являются високосными; так, 1900 и 1800 гг. не были високосными, не будет високосным и 2100 г., в то время как 2000 г. будет високосным (2000 делится на 400). Задача заключается, в том, чтобы выяснить, каким днем чаще бывает по нашему календарю 1 января: субботой или воскресеньем.
Промежутки, через которые следуют друг за другом числа 1 января, не всегда постоянны, но эти промежутки изменяются периодически, с периодом в 400 лет. При этом 400 лет содержат целое число недель: действительно, невисокосный год содержит 52 недели и еще 1 день, а високосный - 52 недели и 2 дня; в течение четырех лет (из которых один високосный) набегает, таким образом, сверх $4 \cdot 52$ недель еще 5 дней; в течение 400 лет должно было бы набежать еще 500 дней, но так как три года, делящиеся на 100, но не делящиеся на 400, не являются високосными, то за 400 лет сверх $400 \cdot 52$ недель набегает всего $500 - 3 = 497$ дней, т. е. ровно 71 неделя. Поэтому нам достаточно выяснить, каким днем чаще бывает 1 января за какие-либо 400 лет; этим днем будет чаще 1 января и за любые другие 400 лет.
Рассмотрим теперь промежуток в 400 лет с 1901 по 2301 г. Отметим, что если в течение 28 лет каждый четвертый год является високосным (т. е. эти 28 лет не содержат года, номер которого делится на 100, но не делится на 400), то эти 28 лет содержат целое число недель: в течение каждых четырех лет набегает сверх целого числа недель еще 5 дней, а за 28 лет набегает $5 \cdot 7 = 35$ дней, т. е. 5 недель. Теперь отметим, что 1 января 1952 г. было вторником. Так как каждый невисокосный год содержит целое число недель и один день, а високосный - целое число недель и 2 дня, то I января 1953 г. - четверг (1952 г. - високосный), 1 января 1954 г. - пятница, 1 января 1955 г. - суббота, и т. д.; точно так же 1 января 1951 г. было понедельником, 1 января 1950 г. было воскресеньем, и т. д. Таким образом, подсчитываем, что за 28 лет с 1929 по 1956 г. 1 января является каждым из семи дней недели ровно по 4 раза. Точно такое же распределение дней, с которых начинается новый, год, было и в течение 28 лет с 1901 по 1928 г. (напоминаем, что 28 лет, среди которых каждый четвертый является високосным, содержит целое число недель, и, следовательно, через каждые 28 лет будет повторяться точно такое же распределение первых дней года, как и в предыдущие 28 лет); такое же распределение первых дней года будет и в периоды 1957-1984, 1985-2012 (2000 г., как делящийся на 400, будет високосным), 2013-2040, 2041-2068 и 2069-2096 гг. Итак, в промежутке 1901-2096 гг. 1 января будет одинаковое число раз каждым днем недели.
Далее, 1 января 2097 г. будет тем же самым днем, что 1 января 1901 г. или 1 января 1929 г., т. е. вторником, 1 января 2098 г. будет средой, 1 января 2099 г.- четвергом, 1 января 2100 г.- пятницей, 1 января 2101 г.- субботой (2100 год не будет високосным). Последующие 28 лет будут отличаться от промежутка 1901-1928 гг. тем, что они начались не со вторника, а с субботы; это вызовет соответствующую перестановку дней, которыми будут являться 1 января; однако, так как в течение 28 лет с 1901 по 1928 г. 1 января было ровно по 4 раза каждым днем недели, то и в промежутке с 2101 по 2128 г. 1 января будет каждым днем недели по 4 раза. Это соображение относится и к промежуткам 2129-2156 гг. и 2157-2184 гг.; 2185 г. начнется с того же самого дня, что и 2101, т. е. с субботы. Это позволяет определить, с каких дней будут начинаться годы с 2185 по 2201. Простой подсчет показывает, что в промежутке между 2185 и 2200 гг. 1 января будет по 2 раза понедельником, средой, четвергом, пятницей и субботой и по 3 раза - воскресеньем и вторником. 1 января 2201 г. будет четвергом. В течение $3 \cdot 28 = 84$ лет с 2201 по 2284 г. 1 января будет каждым днем недели одинаковое число раз. 1 января 2285 г. будет тем же днем, что и 1 января 2201 г., т. е. четвергом. Это позволяет определить распределение дней, с которых начинается год в интервале с 2285 по 2300 г.; оказывается, в течение этого интервала 1 января будет по 2 раза понедельником, вторником, средой, четвергом и субботой и по 3 раза - воскресеньем и пятницей. Таким образом, сверх тех периодов, в течение которых 1 января бывает одинаковое число раз каждым днем недели, мы получили еще $2 + 2 = 4$ понедельника, $1 + 3 + 2 = 6$ вторников, $1 + 2 + 2 = 5$ сред, $1 + 2 + 2 = 5$ четвергов, $1 + 2 + 3 = 6$ пятниц, $2 + 2 = 4$ субботы и $3 + 3 = 6$ воскресений. Отсюда следует, что 1 января чаще бывает воскресеньем, чем субботой.
б) Аналогично решению задачи 29а) можно показать, что в интервале 400 лет 30-е число бывает воскресеньем 687 раз, понедельником 685 раз, вторником 685 раз, средой 687 раз, четвергом 684 раза, пятницей 688 раз, субботой 684 раза. Итак, чаще всего 30-е число приходится на пятницу.
Ответ: с воскресенья, б) На пятницу.
