Коротышки, живущие в Цветочном городе, вдруг стали болеть гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никто не простужался, здоровые коротышки заболевали, навещая своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка болеет гриппом ровно день, причём после этого у него по крайней мере ещё один день есть иммунитет - т. е. он здоров и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навещает своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки забыли о прививках и не делают их. Докажите, что
а) если за день до эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь угодно долго;
б) если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится.
Подробнее
В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им: «Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной. Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ — скормлю всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут — если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним».
Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.
Подробнее
Мартышка поднимается на один из 100 этажей небоскрёба и бросает вниз кокос. Она пытается выяснить, с какого наименьшего этажа нужно бросить кокос, чтобы тот разбился. Каково минимальное число попыток, достаточное для этого, если у мартышки всего два кокоса?
Подробнее
Ведущий игры «Чудесное поле» предлагает игроку указать на одну из трёх шкатулок, в которой, по его мнению, находятся деньги. После чего хитрый ведущий открывает одну из оставшихся шкатулок (пустую, так как ведущий знает в какой из трёх шкатулок деньги) и предлагает игроку изменить свой выбор. Стоит ли игроку это делать?
Подробнее
Как из набора «уголков» (рис.) сложить прямоугольник?
Подробнее
1997 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 1997-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после а) 9; б) 10 ходов все фишки окажутся на одной прямой?
Подробнее
а) Каждый день футболист выбирает по клетке футбольного мяча, который сшит из 12 чёрных правильных пятиугольников и 20 белых правильных шестиугольников (рис.), и изменяет цвет всех её соседей. Он хочет добиться того, чтобы мяч стал полностью чёрным. Какое наименьшее число дней необходимо для этого? б) Может ли он действовать так, что мяч станет полностью белым?
Подробнее
200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий; с другой стороны, из тех же 200 учеников в каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем среди отобранных 10 выбран самый низкий. Кто из двоих окажется выше (если это разные лица) -самый низкий из самых высоких учеников, или самый высокий из самых низких?
Подробнее
Каждый из людей, когда-либо живших на земле, обменялся с другими определенным числом рукопожатий. Доказать, что число людей, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, четно.
Подробнее
Доказать, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Подробнее
На заседании присутствуют несколько человек (разумеется, больше одного человека - иначе какое же это было бы «заседание»?).
а) Может ли быть, что никакие двое из присутствующих не имеют одинакового числа знакомых?
б) Доказать, что при любом числе участников заседания может случиться так, что никакие трое из присутствующих не имеют одинакового числа знакомых.
Подробнее
На некотором собрании присутствовало $2n$ человек, каждый из которых был знаком не менее чем с $n$ присутствующими. Доказать, что за круглый стол на 4 лица можно посадить четырех из присутствующих так, чтобы каждый сидел между своими знакомыми.
Подробнее
На конгресс приехало большое число ученых; одни из них были раньше знакомы друг с другом, другие - нет. При этом оказалось, что никакие два ученых, имеющих одно и то же число знакомых, не имеют общих знакомых. Доказать, что среди присутствующих на конгрессе ученых найдется ученый, знакомый ровно с одним участником конгресса.
Подробнее
На конгресс приехало 1000 делегатов из разных стран. Известно, что каждые трое из них могут говорить друг с другом без помощи остальных (однако при этом возможно, что одному из трех лиц придется служить переводчиком для двух других). Доказать, что всех делегатов конгресса можно так разместить в гостинице с двуместными номерами, что в каждом номере будут помещены делегаты, которые могут говорить друг с другом.
Подробнее
На международной конференции присутствуют 17 ученых. Каждые два из них беседуют друг с другом на определенном языке; при этом всего все 17 человек знают три языка. Доказать, что среди участников конференции найдутся трое, которые говорят друг с другом на одном и том же языке.
Подробнее