ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-04-29   
Спартакиада продолжалась $n$ дней; на ней были разыграны $N$ комплектов медалей; при этом в 1-й День был вручен 1 комплект медалей и 1/7 часть от оставшегося их количества; во 2-й день - 2 комплекта медалей и 1/7 часть от оставшегося их количества; $\cdots$; в предпоследний, $(n-1)$-й день- $(n-1)$ комплект медалей и 1/7 часть всех оставшихся медалей; наконец, в последний день были вручены $n$ последних комплектов медалей. Сколько дней продолжалась спартакиада и сколько комплектов медалей на ней разыгрывалось?


Решение:


Обозначим число комплектов медалей, оставшихся не врученными к началу $i$-го дня соревнования, через $N_i$, где $i = 1, 2, \cdots, n$ можно, впрочем, считать, что величина $N_i$ имеет смысл и при $i > n$, обращаясь в этих случаях в 0. Из условий задачи (и нашего соглашения) вытекает, что $N_1 = N$, $N_n = n$, $N_{n+i} = 0$; кроме того, значения $N_i$ и $N_{i+1}$ связаны соотношением:

$N_{i+1} = N_i - i - \frac{1}{7} (N_i - i) = \frac{6}{7} (N_i - i)$,

или $N_i = \frac{7}{6} N_{i+1} + i$. (*)

Из (*) последовательно находим

$N_n = n \left ( = \frac{7}{6} N_{n+1} + n \right )$;
$N_{n-1} = \frac{7}{6} n + (n-1)$;
$N_{n-2} = \left ( \frac{7}{6} \right )^2 n + \frac{7}{6} (n-1) + (n-2)$;
$N_{n-3} = \left ( \frac{7}{6} \right )^3 n + \left ( \frac{7}{6} \right )^2 (n-1) + \frac{7}{6} (n-2) + (n-3)$;
$\cdots \cdots$
$N_{i} = \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-i} n + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-i-1} (n-1) + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-i-2} (n-2) + \cdots + i$

(общая формула, разумеется, без всякого труда доказывается методом математической индукции).
Таким образом, мы получаем:

$N = N_1 = \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} n + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} (n-1) + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-3} (n-2) + \cdots + 1 = n \left [ \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-3} + \cdots + 1 \right ] - \left [ \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + 2 \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-3} + \cdots + (n-2) \left ( \frac{7}{6} \right ) + (n-1) \right ] = S_1 \cdot n - S_2$,

где через $S_1$ и $S_2$ обозначены две заключенные в квадратные скобки суммы. Но по формуле суммы членов геометрической прогрессии, очевидно,

$S_1 = \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + \cdots + 1 = \frac { \left ( \frac{7}{6} \right )^n - 1}{ \frac{7}{6} - 1} = 6 \left [ \left ( \frac{7}{6} \right )^n - 1 \right ]$;

c другой стороны, как легко видеть,

$\left ( \frac{7}{6} \right ) \cdot S_2 - S_2 = \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + \cdots + \left ( \frac{7}{6} \right ) - (n-1) = S_1 - n = 6 \left [ \left ( \frac{7}{6} \right )^n - 1 \right ] - n$,

так что

$S_2 = 36 \left [ \left ( \frac{7}{6} \right )^n - 1 \right ] - 6n$

и, следовательно,

$N = 6 \left [ \left ( \frac{7}{6} \right )^n - 1 \right ] n - 36 \left [ \left ( \frac{7}{6} \right )^n - 1 \right ] + 6n = 6 (n-6) \left ( \frac{7}{6} \right )^n + 36$. (**)

Так как $N$ - целое число, то и число $\frac {7^n (n-6)}{6^{n-1}}$ а значит и $\frac {n-6}{6^{n-1}}$ должны быть целыми; поэтому $n$ кратно 6. С другой стороны, очевидно, что при всех $k \geq 2$ имеет место неравенство $6k - 6 < 6^{6k-1}$, или $k-1 < 6^{6k-2}$ (почему?)- и, значит, дробь $\frac {n-6}{6^{n-1}}$ при $n > 6$ не может быть целым числом. Таким образом, мы приходим к единственному возможному решению задачи: $n = 6$ и, значит (в силу (**)) $N = 36$.
Ответ: 6 дней; 36 комплектов медалей.