Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3173
2019-05-26 
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Решение:
1. Представим себе, что квадрат, в вершинах которого сидят кузнечики - это квадрат клетчатой бумаги (размер квадрата - $1 \times 1$). Заметим, что кузнечики всегда прыгают по вершинам клеток: если на клетчатой бумаге поместить кузнечиков в вершины клеток (эти вершины называются узлами квадратной сетки), то после каждого прыжка каждый кузнечик снова попадет в некоторый узел квадратной сетки (рис.). Дело в том, что прыжок эквивалентен центральной симметрии одного кузнечика относительно другого, а квадратная сетка центрально симметрична относительно любого своего узла.
2. Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины большего квадрата, тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины меньшего. Но, начиная прыгать из вершин большего квадрата, они всегда будут попадать в узлы сетки, состоящей из больших квадратов. Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона большого квадрата. Противоречие.
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Решение:
1. Представим себе, что квадрат, в вершинах которого сидят кузнечики - это квадрат клетчатой бумаги (размер квадрата - $1 \times 1$). Заметим, что кузнечики всегда прыгают по вершинам клеток: если на клетчатой бумаге поместить кузнечиков в вершины клеток (эти вершины называются узлами квадратной сетки), то после каждого прыжка каждый кузнечик снова попадет в некоторый узел квадратной сетки (рис.). Дело в том, что прыжок эквивалентен центральной симметрии одного кузнечика относительно другого, а квадратная сетка центрально симметрична относительно любого своего узла.
2. Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины большего квадрата, тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины меньшего. Но, начиная прыгать из вершин большего квадрата, они всегда будут попадать в узлы сетки, состоящей из больших квадратов. Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона большого квадрата. Противоречие.
