Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2739
2019-04-29 
Пять приятелей, один из которых имел обезьяну, купили однажды мешок орехов, которые они предполагали утром следующего дня поделить между собой. Однако ночью один из приятелей проснулся и захотел орехов; он разделил все орехи в мешке на пять равных частей, причем у него остался один лишний орех, который он отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Вслед за ним проснулся другой из хозяев орехов; не зная, что орехи уже кто-то брал, он разделил все оставшееся содержимое мешка снова на пять частей, причем оставшийся лишний орех отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Затем последовательно проделали ту же операцию оставшиеся трое приятелей; при этом каждый из них, не зная о поступке остальных, делил все орехи на пять частей, брал себе пятую часть и каждый раз оставался один лишний орех, который отдавали обезьяне. Наконец, утром все пятеро вместе достали мешок, разделили оставшиеся орехи на пять частей, а один орех, оказавшийся лишним, снова отдали обезьяне. Требуется определить наименьшее число орехов в мешке, при котором возможен подобный раздел их.
Решение:
Первое решение. Пусть $n$ - число орехов, которое досталось утром каждому из приятелей; в таком случае $5n + 1$ есть число орехов, которое было утром в мешке. Последний из проснувшихся ночью, очевидно, взял себе $\frac{5n+1}{4}$, а до этого в мешке было $5 \frac{5n+1}{4} + 1 = \frac{25n + 9}{4}$ орехов. Предпоследний проснувшийся взял себе $\frac{1}{4} \cdot \frac{25n+9}{4}$, а до этого в мешке было $5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac {25n + 9}{4} + 1 = \frac{125n + 61}{16}$ орехов; третий взял себе $\frac{1}{4} \cdot \frac{125n+61}{16}$, а до этого в мешке было $5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{125n + 61}{16} + 1 = \frac{625n + 369}{64}$ орехов; второй взял $\frac{1}{4} \cdot \frac{625n + 369}{64}$, а до этого в мешке было $5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{625n + 369}{64} + 1 = \frac{3125n + 2101}{256}$ орехов; наконец, первый взял себе $\frac{1}{4} \cdot \frac{3125n + 2101}{256}$, а первоначально в мешке было
$N = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3125n + 2101}{256} + 1 = \frac{15625n + 11529}{1024} = 15n + 11 + \frac{265n + 265}{1024}$
орехов. Так как это число должно быть целым, то $265 (n + 1)$ должно делиться на 1024. Наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно, очевидно, 1023 и в этом случае
$N = 15 \cdot 1023 + 11 + 265 = 15 621$.
Второе решение. Эту задачу можно решить значительно быстрее и почти без всяких подсчетов, если внимательно рассмотреть те условия, которые накладывает ее содержание на общее число N орехов. Первое условие задачи заключается в том, что при первом разделе на пять частей в остатке остается один орех. Это условие означает, что N при делении на 5 должно дать в остатке 1, т. е. $N = 5l + 1$; числа, удовлетворяющие этому условию, встречаются в натуральном ряду чисел с интервалом в пять чисел, и, зная одно такое число, мы можем найти неограниченно много других, прибавляя к нему (или вычитая из него) числа, кратные 5.
Второе условие задачи утверждает, что $k = \frac{4}{5} (N-1) = 4l$ дает при делении на 5 остаток $l$, т. е. $k = 5l_1 + 1$. Это требование равносильно тому, что $l$ дает при делении на 5 остаток 4 или что $N = 5l + 1$ дает при делении на 25 остаток 21; числа, удовлетворяющие этому условию, встречаются в числовом ряду с интервалом в 25 чисел, и, зная одно такое число, мы можем получить сколько угодно других, прибавляя к нему (или вычитая из него) числа, кратные 25. Точно так же третье условие задачи утверждает, что $k_1 = \frac{4}{5} (k - 1) = 4l_1$ дает при делении на 5 остаток $l$; это условие определяет остаток от деления числа $l_1$ на 5 или остатки от деления чисел $k$ и $l$ на 25, или остаток от деления $N$ на 125. Все условия задачи определяют остаток от деления числа $N$ на $5^6 = 15 625$; числа, удовлетворяющие этим условиям, встречаются в натуральном ряду чисел с интервалом в 15625.
Мы могли бы подсчитать остаток, который дает при делении на $5^6$ число $N$, но в этом нет нужды. Дело в том, что одно число, удовлетворяющее всем условиям задачи, является очевидным. Этим числом является - 4. Действительно, при делении на 5 число - 4 дает в частном - 1 и в остатке +1; поэтому, если вычесть из - 4 число 1 и взять $\frac{4}{5}$ от полученной разности, уже делящейся на 5, то мы получим то же число - 4. Также и при всех последующих делениях на 5 мы будем иметь тот же остаток + 1. Правда, число - 4 не может служить ответом нашей задачи, так как, по условию, число $N$ должно быть положительным; но, зная одно число, удовлетворяющее условиям задачи, мы можем получить сколько угодно других, прибавляя к нашему числу кратные $5^6$. Наименьшее положительное число, удовлетворяющее условиям, есть, очевидно, $- 4 + 5^6 = 15625 - 4 = 15621$.
Ответ: 15 621.
Пять приятелей, один из которых имел обезьяну, купили однажды мешок орехов, которые они предполагали утром следующего дня поделить между собой. Однако ночью один из приятелей проснулся и захотел орехов; он разделил все орехи в мешке на пять равных частей, причем у него остался один лишний орех, который он отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Вслед за ним проснулся другой из хозяев орехов; не зная, что орехи уже кто-то брал, он разделил все оставшееся содержимое мешка снова на пять частей, причем оставшийся лишний орех отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Затем последовательно проделали ту же операцию оставшиеся трое приятелей; при этом каждый из них, не зная о поступке остальных, делил все орехи на пять частей, брал себе пятую часть и каждый раз оставался один лишний орех, который отдавали обезьяне. Наконец, утром все пятеро вместе достали мешок, разделили оставшиеся орехи на пять частей, а один орех, оказавшийся лишним, снова отдали обезьяне. Требуется определить наименьшее число орехов в мешке, при котором возможен подобный раздел их.
Решение:
Первое решение. Пусть $n$ - число орехов, которое досталось утром каждому из приятелей; в таком случае $5n + 1$ есть число орехов, которое было утром в мешке. Последний из проснувшихся ночью, очевидно, взял себе $\frac{5n+1}{4}$, а до этого в мешке было $5 \frac{5n+1}{4} + 1 = \frac{25n + 9}{4}$ орехов. Предпоследний проснувшийся взял себе $\frac{1}{4} \cdot \frac{25n+9}{4}$, а до этого в мешке было $5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac {25n + 9}{4} + 1 = \frac{125n + 61}{16}$ орехов; третий взял себе $\frac{1}{4} \cdot \frac{125n+61}{16}$, а до этого в мешке было $5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{125n + 61}{16} + 1 = \frac{625n + 369}{64}$ орехов; второй взял $\frac{1}{4} \cdot \frac{625n + 369}{64}$, а до этого в мешке было $5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{625n + 369}{64} + 1 = \frac{3125n + 2101}{256}$ орехов; наконец, первый взял себе $\frac{1}{4} \cdot \frac{3125n + 2101}{256}$, а первоначально в мешке было
$N = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3125n + 2101}{256} + 1 = \frac{15625n + 11529}{1024} = 15n + 11 + \frac{265n + 265}{1024}$
орехов. Так как это число должно быть целым, то $265 (n + 1)$ должно делиться на 1024. Наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно, очевидно, 1023 и в этом случае
$N = 15 \cdot 1023 + 11 + 265 = 15 621$.
Второе решение. Эту задачу можно решить значительно быстрее и почти без всяких подсчетов, если внимательно рассмотреть те условия, которые накладывает ее содержание на общее число N орехов. Первое условие задачи заключается в том, что при первом разделе на пять частей в остатке остается один орех. Это условие означает, что N при делении на 5 должно дать в остатке 1, т. е. $N = 5l + 1$; числа, удовлетворяющие этому условию, встречаются в натуральном ряду чисел с интервалом в пять чисел, и, зная одно такое число, мы можем найти неограниченно много других, прибавляя к нему (или вычитая из него) числа, кратные 5.
Второе условие задачи утверждает, что $k = \frac{4}{5} (N-1) = 4l$ дает при делении на 5 остаток $l$, т. е. $k = 5l_1 + 1$. Это требование равносильно тому, что $l$ дает при делении на 5 остаток 4 или что $N = 5l + 1$ дает при делении на 25 остаток 21; числа, удовлетворяющие этому условию, встречаются в числовом ряду с интервалом в 25 чисел, и, зная одно такое число, мы можем получить сколько угодно других, прибавляя к нему (или вычитая из него) числа, кратные 25. Точно так же третье условие задачи утверждает, что $k_1 = \frac{4}{5} (k - 1) = 4l_1$ дает при делении на 5 остаток $l$; это условие определяет остаток от деления числа $l_1$ на 5 или остатки от деления чисел $k$ и $l$ на 25, или остаток от деления $N$ на 125. Все условия задачи определяют остаток от деления числа $N$ на $5^6 = 15 625$; числа, удовлетворяющие этим условиям, встречаются в натуральном ряду чисел с интервалом в 15625.
Мы могли бы подсчитать остаток, который дает при делении на $5^6$ число $N$, но в этом нет нужды. Дело в том, что одно число, удовлетворяющее всем условиям задачи, является очевидным. Этим числом является - 4. Действительно, при делении на 5 число - 4 дает в частном - 1 и в остатке +1; поэтому, если вычесть из - 4 число 1 и взять $\frac{4}{5}$ от полученной разности, уже делящейся на 5, то мы получим то же число - 4. Также и при всех последующих делениях на 5 мы будем иметь тот же остаток + 1. Правда, число - 4 не может служить ответом нашей задачи, так как, по условию, число $N$ должно быть положительным; но, зная одно число, удовлетворяющее условиям задачи, мы можем получить сколько угодно других, прибавляя к нашему числу кратные $5^6$. Наименьшее положительное число, удовлетворяющее условиям, есть, очевидно, $- 4 + 5^6 = 15625 - 4 = 15621$.
Ответ: 15 621.
