Соотношение между разными задачами о парных днях рождения. Пусть $P_{r}$ обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в $r$ человек имеют один и тот же день рождения.
Каково должно быть $n$ в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы $P_{r}$?
Подробнее
Выходные дни и дни рождения. Согласно законам о трудоустройстве в городе $N$, наниматели обязаны предоставлять всем рабочим выходной, если хотя бы у одного из них день рождения, и принимать на службу рабочих независимо от их дня рождения. За исключением этих выходных рабочие трудятся весь год из 365 дней. Предприниматели хотят максимизировать среднее число человеко-дней в году. Сколько рабочих трудятся на фабрике в городе $N$?
Подробнее
Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна $\frac{2}{3}$, а шаг к краю имеет вероятность $\frac{1}{3}$. Каковы шансы пьяницы избежать падения?
Подробнее
У игрока $M$ имеется 1 доллар, а у игрока $N$ - 2 доллара. После каждого тура один из игроков выигрывает у другого один доллар. Игрок $M$ более искусен, чем $N$, так что он выигрывает $\frac{2}{3}$ игр. Игроки состязаются до банкротства одного из них. Какова вероятность выигрыша для $M$?
Подробнее
Человеку, находящемуся в Лас-Вегасе, нужны 40 долларов, в то время как он располагает лишь 20 долларами. Он не хочет телеграфировать жене о переводе денег и решает играть в рулетку (отрицательно относясь к этой игре) согласно одной из двух стратегий: либо поставить все свои 20 долларов на «чет» и закончить игру сразу же, если он выиграет или проиграет, либо ставить на «чет» по одному доллару до тех пор, пока он не выиграет или не проиграет 20 долларов. Какая из этих двух стратегий лучше?
Подробнее
(а) На железной дороге $N$ поездов с номерами $1, 2, \cdots ,N$. Однажды вам встретился поезд с номером 60. Угадайте, сколько поездов на железной дороге.
(б) Вы повстречали 5 поездов, причем 60 по-прежнему наибольший номер. Снова постарайтесь угадать, сколько всего поездов на железной дороге.
Подробнее
(а) Если стержень ломается случайным образом на две части, то какова средняя длина меньшего куска?
(б) Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?
Подробнее
Стержень ломается случайным образом на три части. Найти средние длины короткого, среднего и длинного кусков.
Подробнее
Игра состоит из последовательности партий, в каждой из которых вы или ваш партнер выигрывает очко, вы - с вероятностью $p$ (меньшей, чем $\frac{1}{2}$), он - с вероятностью $1 - p$. Число игр должно быть четным: 2, 4, 6 и т. д. Для выигрыша надо набрать больше половины очков. Предположим, что вам известно, что $p = 0,45$, и в случае выигрыша вы получаете приз. Если число партий в игре выбирается заранее, то каков будет ваш выбор?
Подробнее
Вот два варианта задачи о совпадениях:
(а) Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего Аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт?
(б) Секретарша отправляет письма по $n$ различным адресам, причем конверты с адресами выбираются случайным образом. Сколько писем в среднем попадет в нужные конверты?
Подробнее
В качестве следующей задачи король предлагает мудрецу выбрать наибольшее из 100 чисел при тех же условиях, что и раньше, но на этот раз число на билете выбирается наудачу среди чисел от 0 до 1 (равномерно распределенные случайные числа) Какой должна быть стратегия мудреца?
Подробнее
Инструмент без систематической ошибки для измерения длин делает случайные ошибки, распределение которых имеет штандарт $ \sigma $. Вам разрешается произвести всего два измерения для оценки длины двух цилиндрических стержней, один из которых явно длиннее другого. Можете ли вы придумать что-либо лучшее, чем сделать по одному измерению каждого стержня? (Для инструмента без систематической ошибки среднее наблюдений равно истинному значению.)
Подробнее
Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения $x^2 + 2bx + c = 0$ вещественны?
Подробнее
Выходя из начала координат 0, частица с равной вероятностью сдвигается на один шаг либо на юг,
либо на север, и одновременно (и тоже с равной вероятностью) на один шаг либо на восток, либо на запад. После того как шаг сделан, движение продолжается аналогичным образом из нового положения и так далее до бесконечности. Какова вероятность того, что частица когда-нибудь вернется в начало координат?
Подробнее
Частица выходит из начала координат 0 в трехмерном пространстве. Представим себе точку 0 как центр куба со стороною длины 2. За один шаг частица попадает в один из восьми углов куба. Поэтому при каждом шаге частица с равной вероятностью сдвигается на единицу длины вверх или вниз, на восток или на запад, на север или на юг. Какова доля частиц, возвращающихся в начало, при неограниченном времени блуждания?
Подробнее
