Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3885
2019-06-23 
Соотношение между разными задачами о парных днях рождения. Пусть $P_{r}$ обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в $r$ человек имеют один и тот же день рождения.
Каково должно быть $n$ в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы $P_{r}$?
Решение:
По существу, вопрос состоит в определении числа возможных случаев в задаче о парных днях рождения. В задаче об индивидуальном дне рождения для $n$ людей имеется $n$ возможностей встретить человека, день рождения которого такой же, как у вас. В задаче о парных днях рождения каждый человек сравнивает свой день рождения с $r - 1$ днями рождения остальных людей. Число пар равно, таким образом, $ \frac {r(r - 1)}{2}$, что и является числом возможных случаев. Для того чтобы вероятности в двух задачах приблизительно равнялись, должно выполняться соотношение
$n \approx \frac {r(r - 1)}{2}$. (1)
Например, при $n = 23$ число $n$ должно равняться $ \frac{23 \cdot 22}{2} = 253$, что согласуется с полученным ранее.
Мы уже видели, что при $n$ значительно меньшем по сравнению с $N$, вероятность того, что ни один из $n$ людей не родился с вами в один и тот же день, приближенно равна $e^{ - \frac{n}{N}}$. С другой стороны, в задаче о парных днях рождения было показано, что для значений $r$, малых по сравнению с $N$, вероятность отсутствия парных дней рождения приблизительно равна $e^{ \frac { - r (r -1)}{2N}}$. Для равенства этих двух вероятностей должно иметь место соотношение (1) Полученная аппроксимационная формула поясняет связь этих двух задач. Из сказанного ранее следует, что $ \frac {r(r - 1)}{2}$ имеет смысл числа возможных случаев, что также дает основание для сопоставления $n$и $ \frac {r(r - 1)}{2}$.
Соотношение между разными задачами о парных днях рождения. Пусть $P_{r}$ обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в $r$ человек имеют один и тот же день рождения.
Каково должно быть $n$ в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы $P_{r}$?
Решение:
По существу, вопрос состоит в определении числа возможных случаев в задаче о парных днях рождения. В задаче об индивидуальном дне рождения для $n$ людей имеется $n$ возможностей встретить человека, день рождения которого такой же, как у вас. В задаче о парных днях рождения каждый человек сравнивает свой день рождения с $r - 1$ днями рождения остальных людей. Число пар равно, таким образом, $ \frac {r(r - 1)}{2}$, что и является числом возможных случаев. Для того чтобы вероятности в двух задачах приблизительно равнялись, должно выполняться соотношение
$n \approx \frac {r(r - 1)}{2}$. (1)
Например, при $n = 23$ число $n$ должно равняться $ \frac{23 \cdot 22}{2} = 253$, что согласуется с полученным ранее.
Мы уже видели, что при $n$ значительно меньшем по сравнению с $N$, вероятность того, что ни один из $n$ людей не родился с вами в один и тот же день, приближенно равна $e^{ - \frac{n}{N}}$. С другой стороны, в задаче о парных днях рождения было показано, что для значений $r$, малых по сравнению с $N$, вероятность отсутствия парных дней рождения приблизительно равна $e^{ \frac { - r (r -1)}{2N}}$. Для равенства этих двух вероятностей должно иметь место соотношение (1) Полученная аппроксимационная формула поясняет связь этих двух задач. Из сказанного ранее следует, что $ \frac {r(r - 1)}{2}$ имеет смысл числа возможных случаев, что также дает основание для сопоставления $n$и $ \frac {r(r - 1)}{2}$.
