2019-06-23
(а) Если стержень ломается случайным образом на две части, то какова средняя длина меньшего куска?
(б) Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?
Решение:
(а) Случайность разлома стержня означает равномерную распределенность точки деления. Таким образом, вероятность того, что точка разлома находится в левой или правой половине стержня, одинакова. Если эта точка находится в левой половине, то левый кусок и является меньшим, его средняя длина равна половине от этой половины, что составляет четвертую часть длины стержня. Подобные рассуждения применимы и тогда, когда точка деления - на правой половине, так что ответ таков: одна четверть длины стержня.
(б) Можно считать, что точка перелома лежит в правой половине стержня. Тогда $ \frac {1 - x}{x}$ является отношением короткого куска к длинному при условии, что сам стержень имеет единичную длину. Так как величина $x$ равномерно распределена на отрезке $\left [ \frac{1}{2}, 1 \right ]$, то среднее отношение равно, вместо интуитивно ожидаемого ответа $\frac{1}{3}$,
$2 \int_{ \frac{1}{2} }^{1} \frac {1 - x}{x}dx = \int_{ \frac{1}{2} }^{1} \left ( \frac{1}{x} - 1 \right )dx = 2 \log 2 - 1 \approx 0,386$