2019-06-23
Игра состоит из последовательности партий, в каждой из которых вы или ваш партнер выигрывает очко, вы - с вероятностью $p$ (меньшей, чем $\frac{1}{2}$), он - с вероятностью $1 - p$. Число игр должно быть четным: 2, 4, 6 и т. д. Для выигрыша надо набрать больше половины очков. Предположим, что вам известно, что $p = 0,45$, и в случае выигрыша вы получаете приз. Если число партий в игре выбирается заранее, то каков будет ваш выбор?
Решение:
Не стоит расстраиваться из-за того, что игра несправедлива, ведь в конце концов только вы можете получить приз. Пусть ваш партнер для краткости обозначен через $B$, вы - через $A$. Пусть также общее число партий равно $N = 2n$. Вероятность выигрыша в каждой отдельной игре равна $p$, а проигрыша $q = 1 - p$.
Первая мысль, приходящая в голову многим, состоит в том, что поскольку игра не безобидна, то с возрастанием $N$ средняя разность (число очков $A$ минус число очков $B$) становится все «больше отрицательной». Отсюда делается вывод о том, что $A$ должен играть как можно меньше игр, т. е. две игры.
Если бы правилами допускалось нечетное число игр, то это соображение действительно привело бы к правильному результату, и $A$ должен был бы играть всего одну игру. Для четного же числа игр накладываются два эффекта: (1) смещение в пользу $B$ и (2) изменение среднего члена биномиального распределения (вероятности ничьей) с ростом числа сыгранных партий.
Рассмотрим на минуту справедливую игру ($p = \frac{1}{2}$) Тогда чем больше $N$, тем больше вероятность победы $A$, так как при возрастании $2n$ вероятность ничьей стремится к нулю, и вероятность выигрыша $A$ стремится к $\frac{1}{2}$. Для $N = 2, 4, 6$ эти вероятности равны соответственно $\frac{1}{4}, \frac{5}{16}, \frac{22}{64}$. Из соображений непрерывности следует, что при $p$ незначительно меньшем, чем $\frac{1}{2}$, $A$ следует выбирать большое, но конечное число игр. Однако, если $p$ мало, то выбор $N = 2$ является оптимальным для $A$. Оказывается, что эго так в случае, когда $p < \frac{1}{3}$.
Вероятность выигрыша в игре, состоящей из $2n$ партий, равна сумме вероятностей получения $n + 1, n + 2, \cdots, 2n$ очков, т. е.
$ P_{2n} = \sum_{x = n + 1}^{2n} \binom {2n}{x}p^x q^{2n-x}$.
Если играются $2n + 2$ туров, то вероятность выигрыша равна
$ P_{2n+2} = \sum_{x = n + 2}^{2n + 2}\binom {2n + 2}{x}p^x q^{2n + 2 -x}$
Игра, составленная из $2n + 2$ партий, может быть рассмотрена как игра из $2n$ туров с добавлением еще двух туров. Если только игрок $A$ не набрал $n$ или $n + 1$ очко в игре из $2n$ туров, то он остается выигравшим или проигравшим в игре из $2n + 2$ партий в зависимости от того, выиграл он или проиграл в игре из $2n$ партий.
Итак, вычислим (1) вероятность получения $n + 1$ очка в первых $2n$ партиях и проигрыша в следующих двух, равную
$q^2 \binom {2n}{n + 1} p^{n + 1} q^{n - 1}$,
и (2) вероятность получения $n$ очков в первых $2n$ партиях и выигрыша в следующих двух, которая равняется
$p^2 \binom {2n}{n} p^{n} q^{n}$.
Если $N = 2n$ - оптимальный выбор для $A$, то $P_N - 2 \leq P_N, P_N \geq P_N + 2$ Из предыдущих рассуждений следует, что эти неравенства эквивалентны следующим:
$q^2 \binom {2n - 2}{n} p^n q^{n - 2} \leq p^2 \binom {2n - 2}{n - 1} p^{n - 1} q^{n - 1}$,
$q^2 \binom {2n}{n + 1} p^{n + 1} q^{n - 1} \geq p^2 \binom {2n}{n} p^{n} q^{n}$. (1)
После незначительных преобразований (при которых исключается тривиальный случай $ p = 0$) неравенства (1) сводятся к следующим:
$ (n - 1)q \leq np$, $nq \geq (n + 1)p$. (2)
Отсюда выводим
$ \frac {1}{1 - 2p} - 1 \leq 2n \leq \frac {1}{1 - 2p} + 1$.
Итак, если только $ \frac {1}{1 - 2p}$ не является нечетным числом, то значение $N$ определяется единственным образом, как ближайшее четное число, меньшее $ \frac {1}{1 - 2p}$. Если же $ \frac {1}{1 - 2p}$ нечетное число, то для обоих четных чисел $ \frac {1}{1 - 2p} - 1$ и $ \frac {1}{1 - 2p} + 1$ оптимальные вероятности одни и те же, т. е. если
$ \frac {1}{(1 - 2p)} = 2n + 1$,
то
$P_2n = P_2n + 2$
Для $p = 0,45$ в качестве оптимального числа партий получаем $\frac{1}{1 - 0,9} = 10$.