2019-06-23
Частица выходит из начала координат 0 в трехмерном пространстве. Представим себе точку 0 как центр куба со стороною длины 2. За один шаг частица попадает в один из восьми углов куба. Поэтому при каждом шаге частица с равной вероятностью сдвигается на единицу длины вверх или вниз, на восток или на запад, на север или на юг. Какова доля частиц, возвращающихся в начало, при неограниченном времени блуждания?
Решение:
Поскольку мы знаем, что в случае одного и двух измерений частица возвращается в начало с вероятностью 1, то не будет ли естественно предположить, что она вернется туда заведомо при любом числе измерений? Казалось бы да, но этот ответ не верен.
В нашем случае положение частицы задается тремя координатами, и вероятность того, что все три координаты равны О после $2n$ шагов, есть
$P (частица \: в \: начале) = P (X = 0) P (Y = 0) \times P (Z = 0) = \left [ \binom {2n}{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^{2n} \right ]^3$.
Применим снова формулу Стирлинга. Мы видим, что на $2n$-м шаге
$P (частица \: в \: начале) = \frac {1}{ ( \pi n)^{3/2}}$.
Покажем, что сумма $ \sum \frac{1}{n^{ \frac{3}{2}}}$ ограничена. Заменим для этого $ \frac {1}{n^{ \frac{3}{2}}}$ площадью прямоугольника с основание между точками $n$ и $n + 1$ и высотой $ \frac {1}{n^{ \frac{3}{2}}}$ (рис.)
Проведем кривую $f (n) = \frac {1}{(n - 1)^{ \frac{3}{2}}}$ через вершины правых углов прямоугольников.
Площадь под кривой превосходит площадь соответствующих прямоугольников и
$ \int_{n}^{N} \frac {dx}{(x - 1)^{ \frac{3}{2}}} = \frac { - 2}{(x - 1)^{ \frac{1}{2}}} \mid_n^N = \frac {2}{(n - 1)^{ \frac{1}{2}}} - \frac {2}{(N - 1)^{ \frac{1}{2}}}$.
При $N \rightarrow \infty $ это выражение стремится к $2 (n - 1)^{ \frac{1}{2}}$ - конечному пределу. Это показывает, что и предел суммы средних конечен.
Мы можем оценить это число, сложив несколько первых членов ряда
$ \sum_{n = 1}^{\infty } \left [ \binom {2n}{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^{2n} \right ]^3$
и приблизив «остаток» суммы соответствующим интегралом, что дает приблизительно 0,315. После 10 или, скажем, 20 членов формула Стирлинга очень точна, и остаток, оцениваемый интегралом, весьма мал. Автор при расчете использовал 18 слагаемых. Число 0,315 есть среднее число возвращений частицы в начало координат. Следовательно, $\frac{1}{Q} = 1 + 0,315$, и мы получаем
$Q = \frac{1}{1,315} \approx 0,761$.
Поэтому вероятность $P$ того, что частица вернется в начало координат, приблизительно равна 0,239.
Для читателей, знакомых с результатами о случайных блужданиях, где частица сдвигается в центры граней окружающего куба, а не в его вершины, известно, что доля возвращающихся частиц равна приближенно 0,35, так что для восьми равновероятных шагов шансы на возвращение значительно меньше, чем для шести.
Та же техника в случае 4-мерного блуждания, когда для определения вектора, на который сдвигается частица, бросают четыре монеты, показывает, что вероятность возвращения снижается до 0,105.