Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3897
2019-06-23 
Вот два варианта задачи о совпадениях:
(а) Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего Аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт?
(б) Секретарша отправляет письма по $n$ различным адресам, причем конверты с адресами выбираются случайным образом. Сколько писем в среднем попадет в нужные конверты?
Решение:
Рассмотрим сначала задачу с колодой карт. Если в колоде 52 карты, то каждая карта с вероятностью $\frac{1}{52}$ занимает место, уже занятое такой же картой. Так как общее число возможных мест для каждой карты равно 52, то среднее число совпадений равно $52 \cdot \frac{1}{52} = 1$. Таким образом, в среднем происходит только одно совпадение. Если бы колода состояла из $n$ различных карт, то среднее число совпадений по-прежнему равнялось бы 1, так как $n \frac{1}{n} = 1$. Этот вывод основывается на теореме о том, что среднее суммы есть сумма средних.
Более формально, с каждой парой карт может быть связана случайная величина $X_i$, которая равна 1 в случае, если карты одинаковы, и 0, если карты различны. Имеем
$E(X_i) = 1 \cdot \frac{1}{n} + 0 \cdot \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) = \frac{1}{n}$.
Наконец, общее число совпадений равно $ \sum X_i$, и в силу уже упоминавшейся теоремы
$E \left ( \sum _{i = 1}^{n}X_i \right ) = \sum _ {i = 1}^{n} E(X_i) = n \cdot \frac{1}{n} = 1$.
Вот два варианта задачи о совпадениях:
(а) Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего Аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт?
(б) Секретарша отправляет письма по $n$ различным адресам, причем конверты с адресами выбираются случайным образом. Сколько писем в среднем попадет в нужные конверты?
Решение:
Рассмотрим сначала задачу с колодой карт. Если в колоде 52 карты, то каждая карта с вероятностью $\frac{1}{52}$ занимает место, уже занятое такой же картой. Так как общее число возможных мест для каждой карты равно 52, то среднее число совпадений равно $52 \cdot \frac{1}{52} = 1$. Таким образом, в среднем происходит только одно совпадение. Если бы колода состояла из $n$ различных карт, то среднее число совпадений по-прежнему равнялось бы 1, так как $n \frac{1}{n} = 1$. Этот вывод основывается на теореме о том, что среднее суммы есть сумма средних.
Более формально, с каждой парой карт может быть связана случайная величина $X_i$, которая равна 1 в случае, если карты одинаковы, и 0, если карты различны. Имеем
$E(X_i) = 1 \cdot \frac{1}{n} + 0 \cdot \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) = \frac{1}{n}$.
Наконец, общее число совпадений равно $ \sum X_i$, и в силу уже упоминавшейся теоремы
$E \left ( \sum _{i = 1}^{n}X_i \right ) = \sum _ {i = 1}^{n} E(X_i) = n \cdot \frac{1}{n} = 1$.
