2019-06-23
Инструмент без систематической ошибки для измерения длин делает случайные ошибки, распределение которых имеет штандарт $ \sigma $. Вам разрешается произвести всего два измерения для оценки длины двух цилиндрических стержней, один из которых явно длиннее другого. Можете ли вы придумать что-либо лучшее, чем сделать по одному измерению каждого стержня? (Для инструмента без систематической ошибки среднее наблюдений равно истинному значению.)
Решение:
Да. Пусть $A$ -длина длинного стержня, а $B$ - длина короткого. Можно положить эти стержни рядом и измерить разность длин $A - B$, а затем приложить их один к другому и измерить сумму длин $A + B$. Пусть $D$ и $S$ обозначают наблюденные длины $A - B$ и $A + B$ соответственно. Тогда оценка для $A$ есть $\frac{1}{2} (S + D)$ и оценка для $B$ есть $\frac{1}{2} (S - D)$. Далее, $D = A - B + d, S = A + B + s$, где $d$ и $s$ - случайные ошибки. Следовательно,
$\frac{1}{2} (D + S) = \frac{1}{2} (A - B + A + B + d + s) = A + \frac{1}{2} (d + s)$.
В среднем ошибка $\frac{1}{2} (d + s)$ будет нулевой, поскольку $d$ и $s$ имеют средние нуль. Дисперсия оценки $A$ есть дисперсия
$\frac{1}{2} (d + s)$ или $\frac{1}{4} (\sigma_{d}^{2} + \sigma_{s}^{2}) = \frac{1}{4} (\sigma ^2 + \sigma^2) = \frac{1}{2} \sigma^2$.
Это значение совпадает со значением для дисперсии среднего двух независимых наблюдений. Таким образом, оба наблюдения внесли полный вклад в измерение $A$. Точно так же дисперсия оценки $B$ равняется $ \frac { \sigma^2}{4}$. Следовательно, делая два измерения - одно для разности, другое для суммы - мы получаем оценки, точность которых равна точности при четырех измерениях, по два на каждый стержень в отдельности.
Для получения столь хороших результатов мы должны как можно точнее соединить концы стержней. Если этого сделать нельзя, то можно считать, что в результаты измерений входит ошибка, связанная с неидеальным совпадением концов стержня. Если эта случайная ошибка имеет штандарт $ \sigma \sqrt {2}$, то одному измерению суммы или разности отвечает штандарт $ \frac { \sigma \sqrt {3}}{ \sqrt {2}}$, и дисперсия нашей оценки $A$ будет равна
$\frac{1}{4} \left ( \frac{3}{2} \sigma^2 + \frac{3}{2} \sigma^2 \right ) = \frac{3}{4} \sigma^2 = \frac { \sigma^2}{ \frac{4}{3}}$.
При этих предположениях наша точность будет точно такой же, как и точность при $1 \frac{1}{3}$ независимых измерениях вместо 2, но все же больше точности одного прямого измерения.
Мы можем обосновать предположение о том, что ошибка от неточного совпадения концов имеет штандарт $ \frac { \sigma }{ \sqrt {2}}$, следующим образом. Представим себе $s$ (или $d$) как сумму двух независимых ошибок измерения, каждую с дисперсией $ \frac { \sigma^2}{2}$. Тогда сумма слагаемых ошибок имеет дисперсию, которую мы считали равной $ \sigma^2$. Если мы припишем дисперсию $ \frac { \sigma^2}{2}$ и третьему слагаемому, то такая модель будет согласовываться с исходной.