2019-06-23
Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения $x^2 + 2bx + c = 0$ вещественны?
Решение:
Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка ( $b, c$ ) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной $2B$ (рис.) Решим задачу при фиксированном $B$, а затем устремим $B$ к бесконечности, так что $b$ и $c$ могут принимать любые значения.
Для того чтобы уравнение имело вещественные корни, необходимо и достаточно, чтобы
$b^2 - c \geq 0$.
На приведенном рисунке изображена парабола $b^2 = c$ и показана область, где наше уравнение имеет вещественные корни для $B = 4$.
Нетрудно подсчитать, что площадь незаштрихованной области равна $\frac{4}{3} B^{ \frac{3}{2}}$ (при $B \geq 1$), а площадь всего квадрата, конечно, равна $4B^2$. Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна $\frac{1}{3} \sqrt {B}$. При $B = 4$ ответ равен $\frac{1}{6}$. С ростом $B$ $\frac {1}{ \sqrt {B}}$ стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.
Следует заметить, что эта задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением $ ax^2 + 2bx + c = 0$. Конечно, можно разделить на $a$, но если $a, b$ и $c$ были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то $\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$ уже зависимы и распределены неравномерно.