В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
Подробнее
В клетках таблицы $10 \times 10$ расставлены числа $1, 2, 3, \cdots, 100$ так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит $S$. Найдите наименьшее возможное значение $S$. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону).
Подробнее
Найдите все тройки натуральных чисел $m, n$ и $l$ такие, что $m + n = (\:НОД (m,n))^2, m + l = (\:НОД (m, l))^2, n + l = (\:НОД(n, l))^2$.
Подробнее
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трех цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
Подробнее
Обозначим $S(x)$ сумму цифр числа $x$. Найдутся ли три таких натуральных числа $a, b$ и $с$, что $S(a + b) < 5, S(a + с) < 5$ и $S(b + с) < 5$, но $S(a + b + с) > 50$?
Подробнее
На доске написаны два различных натуральных числа $а$ и $b$. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число $ \frac {ab}{ \left | a-b \right |}$ (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т. д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.
Подробнее
С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98. Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?
Подробнее
В числе $A$ цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа $9 \cdot A$?
Подробнее
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из $N$ авиакомпаний, причем из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из любого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт $N - 1$ рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по- прежнему из любого города можно долететь до любого другого.
Подробнее
Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета - черный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были черными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?
Подробнее
На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик - только во вторую или третью, а Пятачок - в первую или третью. Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает. Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.
Подробнее
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа $n$ равна 100, а сумма цифр числа $44n$ равна 800. Чему равна сумма цифр числа $3n$?
Подробнее
В некоторой группе из 12 человек среди каждых 9 найдутся 5 попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся 6 попарно знакомых.
Подробнее
Существуют ли 19 попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр таких, что их сумма равна 1999?
Подробнее
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдется такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.
Подробнее
