Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1887
2019-01-21 
На доске написаны два различных натуральных числа $а$ и $b$. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число $ \frac {ab}{ \left | a-b \right |}$ (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т. д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.
Решение:
Одновременно с операциями на доске будем вести запись в тетради. Но вместо каждого числа $x$, появляющегося на доске, будем писать в тетради число $\frac{ab}{x}$ ($a$ и $b$ - исходные числа). Когда на доске пара чисел ($x, у$), где $x > у$, заменяется на пару $\left (x, \frac{xy}{x-y} \right )$, в тетради происходит замена
$\left (\frac{ab}{x}, \frac{ab}{y} \right ) \rightarrow \left (\frac{ab}{x}, \frac{ab(x-y)}{xy} \right ) = \left ( \frac{ab}{x}, \frac{ab}{y} - \frac{ab}{x} \right )$,
т. е., как в алгоритме Евклида, большее число заменяется на разность. Следовательно, на каком-то шаге мы запишем в тетрадь пару чисел, равных $\:НОД(а, b)$. В это же время оба числа на доске станут равными $\frac{ab}{\:НОД (a, b)}$, т.е. $\:НОК (a,b)$.
На доске написаны два различных натуральных числа $а$ и $b$. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число $ \frac {ab}{ \left | a-b \right |}$ (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т. д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.
Решение:
Одновременно с операциями на доске будем вести запись в тетради. Но вместо каждого числа $x$, появляющегося на доске, будем писать в тетради число $\frac{ab}{x}$ ($a$ и $b$ - исходные числа). Когда на доске пара чисел ($x, у$), где $x > у$, заменяется на пару $\left (x, \frac{xy}{x-y} \right )$, в тетради происходит замена
$\left (\frac{ab}{x}, \frac{ab}{y} \right ) \rightarrow \left (\frac{ab}{x}, \frac{ab(x-y)}{xy} \right ) = \left ( \frac{ab}{x}, \frac{ab}{y} - \frac{ab}{x} \right )$,
т. е., как в алгоритме Евклида, большее число заменяется на разность. Следовательно, на каком-то шаге мы запишем в тетрадь пару чисел, равных $\:НОД(а, b)$. В это же время оба числа на доске станут равными $\frac{ab}{\:НОД (a, b)}$, т.е. $\:НОК (a,b)$.
