Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1892
2019-01-21 
С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98. Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?
Решение:
Допустим, что можно, и рассмотрим способ добиться этого за наименьшее количество действий. Пусть $a_k, b_k$ - числа, получавшиеся из 19 и 98 после $k$-го действия, $s$ - число действий. Тогда $a_s = b_s = m$ и $a_{s - 1} = b_{s - 1}$ (так как мы рассматриваем оптимальный способ). Действия, проведенные над $a_{s-1}$ и $b_{s-1}$, различны. Значит, $m = n^2$ и на $(s - 1)$-м шаге мы имели числа $a_{s-1} = n$ и $b_{s-1} = n^2 - 1$ (или наоборот; на дальнейшее решение это не влияет). Общее количество $s$ действий не больше, чем $n - 18$, так как на $s - 1$ шаге мы получили $n$, а каждый шаг увеличивает числа по крайней мере на 1. Тогда $n^2 - 1$ могло получиться только последовательным прибавлением единиц, так как от ближайшего квадрата $(n - 1)^2$ до $n^2 - 1$ будет $2n - 2$ единицы. Следовательно, $b_1 > (n - 1)^2$, поэтому все числа $b_1, \cdots, b_{s-1}$ не являются полными квадратами. Поэтому $b_s \leq 100$, с другой стороны $a_s = a_{s-1}^2 \geq 19^2$. Противоречие.
Ответ. Нельзя.
С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98. Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?
Решение:
Допустим, что можно, и рассмотрим способ добиться этого за наименьшее количество действий. Пусть $a_k, b_k$ - числа, получавшиеся из 19 и 98 после $k$-го действия, $s$ - число действий. Тогда $a_s = b_s = m$ и $a_{s - 1} = b_{s - 1}$ (так как мы рассматриваем оптимальный способ). Действия, проведенные над $a_{s-1}$ и $b_{s-1}$, различны. Значит, $m = n^2$ и на $(s - 1)$-м шаге мы имели числа $a_{s-1} = n$ и $b_{s-1} = n^2 - 1$ (или наоборот; на дальнейшее решение это не влияет). Общее количество $s$ действий не больше, чем $n - 18$, так как на $s - 1$ шаге мы получили $n$, а каждый шаг увеличивает числа по крайней мере на 1. Тогда $n^2 - 1$ могло получиться только последовательным прибавлением единиц, так как от ближайшего квадрата $(n - 1)^2$ до $n^2 - 1$ будет $2n - 2$ единицы. Следовательно, $b_1 > (n - 1)^2$, поэтому все числа $b_1, \cdots, b_{s-1}$ не являются полными квадратами. Поэтому $b_s \leq 100$, с другой стороны $a_s = a_{s-1}^2 \geq 19^2$. Противоречие.
Ответ. Нельзя.
