Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1872
2019-01-21 
Найдите все тройки натуральных чисел $m, n$ и $l$ такие, что $m + n = (\:НОД (m,n))^2, m + l = (\:НОД (m, l))^2, n + l = (\:НОД(n, l))^2$.
Решение:
Положим $d =\:НОД(m, n, l)$. Пусть $m = dm_1, n = dn_1, l = dl_1$. Тогда $d(m_1 + n_1) = d^2d^2_{mn},$ где $d_{mn} =\:НОД(m_1, n_1)$; откуда $m_1 + n_1 = d \cdot d_mn^2$. Складывая это равенство с двумя аналогичными, получаем:
$2(m_1 + n_1 + l_1) = d \cdot (d_{mn}^2 + d_{ml}^2 + d_{nl}^2)$. (1)
Покажем, что $d$ взаимно просто с суммой $m_1 + n_1 +1_1$. В самом деле, если у $d$ и этой суммы есть общий делитель $d_1 > 1$, то он будет общим делителем всех чисел $m_1, n_1$ и $l_1$ (так как сумма любых двух из них делится на $d$). Но тогда произведение $d \cdot d_1$ - общий делитель чисел $m, n$ и $l$, что противоречит определению числа $d$. Следовательно, $d$ является делителем числа 2 (равенство (1)), откуда $d \leq 2$. Заметим, что числа $d_{mn}, d_{nl}, d_{ml}$ попарно взаимно просты (иначе у чисел $m_1, n_1, l_1$ нашелся бы общий делитель, не равный 1). Поэтому $m_1 = d_{mn} \cdot d_{ml} \cdot m_2, n_1 = d_{mn} \cdot d_{nl} \cdot n_2, l_1 = d_{nl} \cdot d_{ml} \cdot l2,$ где $m_2, n_2, l_2$ - натуральные числа. В таких обозначениях первое из исходных уравнений приобретает такой вид:
$d_{mn} \cdot d_{ml} \cdot m_2 + d_{mn} \cdot d_{nl} \cdot n_2 d \cdot d_{mn}^2$,
т.е. $d_{ml} \cdot m_2 + d_{nl} \cdot n_2 = d \cdot d_{mn}$.
Не умаляя общности, мы можем считать, что число $d_{mn}$ - наименьшее из чисел $d_{mn}, d_{ml}$ и $d_{nl}$. Имеем:
$d_{ml} \cdot m_2 + d_{nl} \cdot n_2 \geq d_{ml} + d_{nl} \geq 2d_{mn} \geq d \cdot d_{mn}$
(так как $d \leq 2$). Итак, все неравенства являются на самом деле равенствами, отсюда $m_2 = n_2 = 1, d = 2$ и $d_{ml} = d_{mn} = d_{nl}$. Но числа $d_{ml}, d_{mn}, d_{nl}$ попарно взаимно просты, следовательно, они равны 1, и мы нашли единственное решение $m = n = l = 2$.
Ответ. $m = n = l = 2$.
Найдите все тройки натуральных чисел $m, n$ и $l$ такие, что $m + n = (\:НОД (m,n))^2, m + l = (\:НОД (m, l))^2, n + l = (\:НОД(n, l))^2$.
Решение:
Положим $d =\:НОД(m, n, l)$. Пусть $m = dm_1, n = dn_1, l = dl_1$. Тогда $d(m_1 + n_1) = d^2d^2_{mn},$ где $d_{mn} =\:НОД(m_1, n_1)$; откуда $m_1 + n_1 = d \cdot d_mn^2$. Складывая это равенство с двумя аналогичными, получаем:
$2(m_1 + n_1 + l_1) = d \cdot (d_{mn}^2 + d_{ml}^2 + d_{nl}^2)$. (1)
Покажем, что $d$ взаимно просто с суммой $m_1 + n_1 +1_1$. В самом деле, если у $d$ и этой суммы есть общий делитель $d_1 > 1$, то он будет общим делителем всех чисел $m_1, n_1$ и $l_1$ (так как сумма любых двух из них делится на $d$). Но тогда произведение $d \cdot d_1$ - общий делитель чисел $m, n$ и $l$, что противоречит определению числа $d$. Следовательно, $d$ является делителем числа 2 (равенство (1)), откуда $d \leq 2$. Заметим, что числа $d_{mn}, d_{nl}, d_{ml}$ попарно взаимно просты (иначе у чисел $m_1, n_1, l_1$ нашелся бы общий делитель, не равный 1). Поэтому $m_1 = d_{mn} \cdot d_{ml} \cdot m_2, n_1 = d_{mn} \cdot d_{nl} \cdot n_2, l_1 = d_{nl} \cdot d_{ml} \cdot l2,$ где $m_2, n_2, l_2$ - натуральные числа. В таких обозначениях первое из исходных уравнений приобретает такой вид:
$d_{mn} \cdot d_{ml} \cdot m_2 + d_{mn} \cdot d_{nl} \cdot n_2 d \cdot d_{mn}^2$,
т.е. $d_{ml} \cdot m_2 + d_{nl} \cdot n_2 = d \cdot d_{mn}$.
Не умаляя общности, мы можем считать, что число $d_{mn}$ - наименьшее из чисел $d_{mn}, d_{ml}$ и $d_{nl}$. Имеем:
$d_{ml} \cdot m_2 + d_{nl} \cdot n_2 \geq d_{ml} + d_{nl} \geq 2d_{mn} \geq d \cdot d_{mn}$
(так как $d \leq 2$). Итак, все неравенства являются на самом деле равенствами, отсюда $m_2 = n_2 = 1, d = 2$ и $d_{ml} = d_{mn} = d_{nl}$. Но числа $d_{ml}, d_{mn}, d_{nl}$ попарно взаимно просты, следовательно, они равны 1, и мы нашли единственное решение $m = n = l = 2$.
Ответ. $m = n = l = 2$.
