Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1916
2019-01-22 
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдется такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.
Решение:
Предположим противное, т. е. существует такая расстановка целых чисел, что для любого отрезка $AB$ с серединой $C$ выполняется неравенство $с < \frac{a+b}{2}$, где $а, b, с$ - соответственно числа, стоящие в точках $A, B$ и $C$. Пусть $A, B, C, A_n, B_n, n = 1, 2, \cdots, $ - соответственно точки $-1, 1, 0, -\frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^n}$, числовой прямой, $a, b, c, a_n, b_n$ - целые числа, записанные в этих точках. Тогда, по предположению, $c < \frac{a + b}{2}, a_1 < \frac{a+c}{2}, a_2 < \frac{a_1 + c}{2}$ и т.д. Отсюда следует, что $max \{a,c \} > a_1$, так как $x_1 < \frac{a+c}{2} \leq \frac{max \{a,c \} + max \{a,c \}}{2} = max \{ a,c \}$. Аналогично, $max \{a_1,c \} > a_2, max \{a_2, c \} > a_3, \cdots$, и $max \{b, c \} > b_1, max \{b_1, c \} > b_2, \cdots$. Таким образом, если $a_m > c$, то $c < a_m \leq a_{m-1} - 1 \leq \cdots \leq a - m$, что при $m \geq a$ - c невозможно; поэтому при $m \geq max \{1, a - c, b - c \}$ получаем $a_m \leq c, b_m \leq c$, откуда $a_m + b_m \leq 2c$, что противоречит нашему предположению.
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдется такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.
Решение:
Предположим противное, т. е. существует такая расстановка целых чисел, что для любого отрезка $AB$ с серединой $C$ выполняется неравенство $с < \frac{a+b}{2}$, где $а, b, с$ - соответственно числа, стоящие в точках $A, B$ и $C$. Пусть $A, B, C, A_n, B_n, n = 1, 2, \cdots, $ - соответственно точки $-1, 1, 0, -\frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^n}$, числовой прямой, $a, b, c, a_n, b_n$ - целые числа, записанные в этих точках. Тогда, по предположению, $c < \frac{a + b}{2}, a_1 < \frac{a+c}{2}, a_2 < \frac{a_1 + c}{2}$ и т.д. Отсюда следует, что $max \{a,c \} > a_1$, так как $x_1 < \frac{a+c}{2} \leq \frac{max \{a,c \} + max \{a,c \}}{2} = max \{ a,c \}$. Аналогично, $max \{a_1,c \} > a_2, max \{a_2, c \} > a_3, \cdots$, и $max \{b, c \} > b_1, max \{b_1, c \} > b_2, \cdots$. Таким образом, если $a_m > c$, то $c < a_m \leq a_{m-1} - 1 \leq \cdots \leq a - m$, что при $m \geq a$ - c невозможно; поэтому при $m \geq max \{1, a - c, b - c \}$ получаем $a_m \leq c, b_m \leq c$, откуда $a_m + b_m \leq 2c$, что противоречит нашему предположению.
