Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1882
2019-01-21 
Обозначим $S(x)$ сумму цифр числа $x$. Найдутся ли три таких натуральных числа $a, b$ и $с$, что $S(a + b) < 5, S(a + с) < 5$ и $S(b + с) < 5$, но $S(a + b + с) > 50$?
Решение:
Подойдут, например, числа $a = 5555554445, b = 5554445555, с = 4445555555$. Убедимся в этом: $S(a + b) = S(11110000000) < 5, S(а + с) = S(10001110000) < 5, S(b + с) = S(10000001110) < 5, S(a + b + с) = S(15555555555) = 51 > 50$.
Как можно найти такие числа? Заметим, что $S(2(a + b + с)) = S((a + b) + (a + с) + (b + с)) \leq S(a + b) + S(a + с) + S(b + с) \leq 12$, т. е. число $n = 2(a + b + с)$ при делении на 2 должно резко увеличивать свою сумму цифр. Такое возможно, если в числе много единиц, тогда в частном появится много пятерок. Возьмем, например, $n = 31111111110$, тогда $S(n) = 12$, а $S(\frac{n}{2}) = 51$. Разложим $n$ на три слагаемых с суммой цифр 4 и меньших $\frac{n}{2}/n = 11110000000 + 10001110000 + 10000001110$, а затем решим систему уравнений $a + b = 11110000000, a + с = 10001110000, b + с = 10000001110$.
Ответ. Найдутся.
Обозначим $S(x)$ сумму цифр числа $x$. Найдутся ли три таких натуральных числа $a, b$ и $с$, что $S(a + b) < 5, S(a + с) < 5$ и $S(b + с) < 5$, но $S(a + b + с) > 50$?
Решение:
Подойдут, например, числа $a = 5555554445, b = 5554445555, с = 4445555555$. Убедимся в этом: $S(a + b) = S(11110000000) < 5, S(а + с) = S(10001110000) < 5, S(b + с) = S(10000001110) < 5, S(a + b + с) = S(15555555555) = 51 > 50$.
Как можно найти такие числа? Заметим, что $S(2(a + b + с)) = S((a + b) + (a + с) + (b + с)) \leq S(a + b) + S(a + с) + S(b + с) \leq 12$, т. е. число $n = 2(a + b + с)$ при делении на 2 должно резко увеличивать свою сумму цифр. Такое возможно, если в числе много единиц, тогда в частном появится много пятерок. Возьмем, например, $n = 31111111110$, тогда $S(n) = 12$, а $S(\frac{n}{2}) = 51$. Разложим $n$ на три слагаемых с суммой цифр 4 и меньших $\frac{n}{2}/n = 11110000000 + 10001110000 + 10000001110$, а затем решим систему уравнений $a + b = 11110000000, a + с = 10001110000, b + с = 10000001110$.
Ответ. Найдутся.
