ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BM$ и $CN$, при этом $BC=4$, $MN=2$. В треугольник вписана окружность с центром $O$. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус окружности, описанной около треугольника $BOC$


Решение:


Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Поскольку $O$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ (см. задачу 4805),

$\angle BOC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$

(см. задачу 7881).
Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов

$R=\frac{BC}{2\sin\angle BOC}=\frac{4}{2\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2}{\cos\frac{\alpha}{2}}.$


Треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $|\cos\alpha|$ (см. задачу 8109), поэтому

$|\cos\alpha|=\frac{MN}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Значит, $\alpha=60^{\circ}$ или $\alpha=120^{\circ}$. В первом случае

$R=\frac{2}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}},$

во втором -

$R=\frac{2}{\cos60^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4\gt\frac{4}{\sqrt{3}}.$

Такой треугольник существует: например, равнобедренный треугольник с основанием 4 и противолежащим углом $120^{\circ}$