ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Точки $E$ и $N$ лежат на сторонах соответственно $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$, а точки $F$ и $M$ - на стороне $BC$, причём треугольники $AMN$ и $DEF$ равносторонние. Отрезки $AN$ и $DE$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $AM$ и $EF$ - в точке $Q$. Докажите, что $PQ=FM$


Решение:


Заметим, что прямоугольные треугольники $ABM$, $ADN$, $CDN$ и $DAE$ с острыми углами $15^{\circ}$ и $75^{\circ}$ равны, поэтому

$AE=BM=FC=ND.$

Значит, $AEND$ - прямоугольник, поэтому его диагонали $AN$ и $DE$ равны и делят друг друга пополам. Тогда $FP\perp DE$, треугольник $FPE$ прямоугольный, а т.к. $\angle PEF=60^{\circ}$, то $\angle PFE=30^{\circ}$. Кроме того,

$BF=BC-CF=AB-AE=BE,$

поэтому прямоугольный треугольник $FBE$ - равнобедренный. Значит,

$\angle BFE=45^{\circ},~\angle PFM=\angle PFE+\angle BFE=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}=\angle AMB.$

Следовательно, $PF\parallel QM$, а $PQMF$ - трапеция.
Из точек $A$ и $E$ отрезок $PQ$ виден под одним и тем же углом ($60^{\circ}$), значит, $PAEQ$ - вписанный четырёхугольник. Тогда

$\angle FPQ=\angle AQP=\angle AEP=75^{\circ}=\angle PFM,$

поэтому трапеция $PQMF$ равнобедренная. Следовательно, $PQ=FM$