Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16310
2026-02-17 
В треугольнике $ABC$, основание $AB$ которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты $AM$ и $BN$. Найдите $AB$, если известны координаты точек $M(2;2)$ и $N(4;4)$
Решение:
Из точек $M$ и $N$ отрезок $AB$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AB$. Центр $D$ этой окружности, т.е. середина отрезка $AB$, равноудалён от точек $M$ и $N$, поэтому точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре $l$ к отрезку $MN$. Уравнение прямой $l$ имеет вид $y=6-x$ (см. задачи 7407 и 7372), а т.к. $D$ - точка пересечения прямой $l$ с осью абсцисс, то точка $D$ имеет координаты $D(6;0)$.
Точка $D$ равноудалена от точек $A$, $B$, $M$ и $N$. Значит,
$DA=DB=DM=DN=\sqrt{(4-6)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}.$
Следовательно,
$AB=2DA=4\sqrt{5}$.
В треугольнике $ABC$, основание $AB$ которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты $AM$ и $BN$. Найдите $AB$, если известны координаты точек $M(2;2)$ и $N(4;4)$
Решение:
Из точек $M$ и $N$ отрезок $AB$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AB$. Центр $D$ этой окружности, т.е. середина отрезка $AB$, равноудалён от точек $M$ и $N$, поэтому точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре $l$ к отрезку $MN$. Уравнение прямой $l$ имеет вид $y=6-x$ (см. задачи 7407 и 7372), а т.к. $D$ - точка пересечения прямой $l$ с осью абсцисс, то точка $D$ имеет координаты $D(6;0)$.
Точка $D$ равноудалена от точек $A$, $B$, $M$ и $N$. Значит,
$DA=DB=DM=DN=\sqrt{(4-6)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}.$
Следовательно,
$AB=2DA=4\sqrt{5}$.
