Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16308
2026-02-17 
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнение
$\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}+\sqrt{(x+14)^{2}+(x+3)^{2}}=13a$
имеет хотя бы одно решение
Решение:
Первый способ. На координатной плоскости $xOy$ рассмотрим фиксированные точки $A(-8;-2)$, $B(-14;-3)$ и произвольную точку $M(x;x)$. Заметим, что левая часть данного уравнения - сумма расстояний от точки $M$, лежащей на прямой $y=x$, до точек $A$ и $B$, лежащих по одну сторону от этой прямой. Эта сумма минимальна в случае, когда $M$ совпадает с точкой $M_{0}$ пересечения прямой $y=x$ и отрезка $BA'$, где $A'(-2;-8)$ - точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $y=x$ (см. задачу 8092). По формуле расстояния между двумя точками находим, что эта минимальная сумма равна
$AM_{0}+BM_{0}=A'M_{0}+BM_{0}=BA'=\sqrt{(-2+14)^{2}+(-8+3)^{2}}=$
$=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.$
Таким образом, наименьшее $a$, при котором данное уравнение имеет решение, находится из равенства $13a=13$. Следовательно, $a=1$.
Второй способ. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{p}=(x+8;-x-2)$ и $\overrightarrow{q}=(-x-3;x+14)$. Поскольку $\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=(5;12)$, то
$|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13,$
а т.к.
$|\overrightarrow{p}|=\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}~\mbox{и}~|\overrightarrow{q}|=\sqrt{(x+3)^{2}+(x+14)^{2}},$
то
$13=|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|\leq|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|=\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+(x+14^{2})},$
причём равенство достигается только в случае, когда векторы $\overrightarrow{p}$ и $\overrightarrow{q}$ сонаправлены, т.е. когда
$\frac{x+8}{-x-3}=\frac{-x-2}{x+14}\gt0,$
откуда находим, что $x=-\frac{106}{17}$. (Заметим, что при $x=-3$ и при $x=-14$ векторы $\overrightarrow{p}$ и $\overrightarrow{q}$ не являются сонаправленными.)
Таким образом, наименьшее $a$, при котором данное уравнение имеет решение, находится из равенства $13a=13$. Следовательно, $a=1$
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнение
$\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}+\sqrt{(x+14)^{2}+(x+3)^{2}}=13a$
имеет хотя бы одно решение
Решение:
Первый способ. На координатной плоскости $xOy$ рассмотрим фиксированные точки $A(-8;-2)$, $B(-14;-3)$ и произвольную точку $M(x;x)$. Заметим, что левая часть данного уравнения - сумма расстояний от точки $M$, лежащей на прямой $y=x$, до точек $A$ и $B$, лежащих по одну сторону от этой прямой. Эта сумма минимальна в случае, когда $M$ совпадает с точкой $M_{0}$ пересечения прямой $y=x$ и отрезка $BA'$, где $A'(-2;-8)$ - точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $y=x$ (см. задачу 8092). По формуле расстояния между двумя точками находим, что эта минимальная сумма равна
$AM_{0}+BM_{0}=A'M_{0}+BM_{0}=BA'=\sqrt{(-2+14)^{2}+(-8+3)^{2}}=$
$=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.$
Таким образом, наименьшее $a$, при котором данное уравнение имеет решение, находится из равенства $13a=13$. Следовательно, $a=1$.
Второй способ. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{p}=(x+8;-x-2)$ и $\overrightarrow{q}=(-x-3;x+14)$. Поскольку $\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=(5;12)$, то
$|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13,$
а т.к.
$|\overrightarrow{p}|=\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}~\mbox{и}~|\overrightarrow{q}|=\sqrt{(x+3)^{2}+(x+14)^{2}},$
то
$13=|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|\leq|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|=\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+(x+14^{2})},$
причём равенство достигается только в случае, когда векторы $\overrightarrow{p}$ и $\overrightarrow{q}$ сонаправлены, т.е. когда
$\frac{x+8}{-x-3}=\frac{-x-2}{x+14}\gt0,$
откуда находим, что $x=-\frac{106}{17}$. (Заметим, что при $x=-3$ и при $x=-14$ векторы $\overrightarrow{p}$ и $\overrightarrow{q}$ не являются сонаправленными.)
Таким образом, наименьшее $a$, при котором данное уравнение имеет решение, находится из равенства $13a=13$. Следовательно, $a=1$
