Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16261
2026-02-17 
Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$. Найдите наименьшее значение отношения $\frac{MA+MC}{MB+MD}$, если точка $M$ лежит в плоскости прямоугольника $ABCD$
Решение:
Применив неравенство Птолемея (см. задачу @H10938) к четырёхугольникам $ABCM$ и $ADCM$, получим
$AC\cdot MB\leq MC\cdot AB+MA\cdot BC=aMC+bMA,$
$AC\cdot MD\leq MC\cdot AD+MA\cdot DC=bMC+aDC.$
Сложив эти неравенства, получим
$AC(MB+MD)\leq(a+b)(MA+MC),$
откуда
$\frac{MA+MC}{MB+MD}\geq\frac{AC}{a+b}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}.$
В неравенстве Птолемея для четырёхугольника $ABCM$ равенство достигается тогда и только тогда, когда точка $M$ лежат на дуге $ADC$ описанной окружности прямоугольника $ABCD$, а второе - тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на дуге $ABC$ этой окружности. Значит, оба неравенства обращаются в равенство тогда и только тогда, когда $M$ совпадает с одним из общих концов этих дуг, т.е. с $A$ или $C$
Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$. Найдите наименьшее значение отношения $\frac{MA+MC}{MB+MD}$, если точка $M$ лежит в плоскости прямоугольника $ABCD$
Решение:
Применив неравенство Птолемея (см. задачу @H10938) к четырёхугольникам $ABCM$ и $ADCM$, получим
$AC\cdot MB\leq MC\cdot AB+MA\cdot BC=aMC+bMA,$
$AC\cdot MD\leq MC\cdot AD+MA\cdot DC=bMC+aDC.$
Сложив эти неравенства, получим
$AC(MB+MD)\leq(a+b)(MA+MC),$
откуда
$\frac{MA+MC}{MB+MD}\geq\frac{AC}{a+b}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}.$
В неравенстве Птолемея для четырёхугольника $ABCM$ равенство достигается тогда и только тогда, когда точка $M$ лежат на дуге $ADC$ описанной окружности прямоугольника $ABCD$, а второе - тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на дуге $ABC$ этой окружности. Значит, оба неравенства обращаются в равенство тогда и только тогда, когда $M$ совпадает с одним из общих концов этих дуг, т.е. с $A$ или $C$
