Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16267
2026-02-17 
Точка $K$ - такая точка на стороне $AD$ квадрата $ABCD$, что $KD:KA=2$. Прямая, симметричная $CD$ относительно $CK$, пересекает сторону $AB$ в точке $L$. Найдите величину $5AL:LB$
Решение:
Пусть $P$ - точка пересечения прямых $CL$ и $AD$, сторона квадрата равна 1, а $AP=x$. Отрезок $CK$ - биссектриса треугольника $PCD$, поэтому (см. задачу 5137)
$\frac{CP}{PK}=\frac{CD}{KD}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}.$
По теореме Пифагора
$CP=\sqrt{PD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(1+x)^{2}+1}.$
Таким образом,
$\frac{\sqrt{(1+x)^{2}+1}}{x+\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.$
После возведения в квадрат и очевидных упрощений получим квадратное уравнение
$5x^{2}-2x-7=0,$
Из которого находим, что $x=-1$ (что не удовлетворяет условию задачи) или $x=\frac{7}{5}$.
Из подобия треугольников $ALP$ и $BLC$ находим, что
$\frac{AL}{LB}=\frac{AP}{BC}=x=\frac{7}{5}.$
Следовательно,
$\frac{5AL}{LB}=5\cdot\frac{7}{5}=7$.
Точка $K$ - такая точка на стороне $AD$ квадрата $ABCD$, что $KD:KA=2$. Прямая, симметричная $CD$ относительно $CK$, пересекает сторону $AB$ в точке $L$. Найдите величину $5AL:LB$
Решение:
Пусть $P$ - точка пересечения прямых $CL$ и $AD$, сторона квадрата равна 1, а $AP=x$. Отрезок $CK$ - биссектриса треугольника $PCD$, поэтому (см. задачу 5137)
$\frac{CP}{PK}=\frac{CD}{KD}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}.$
По теореме Пифагора
$CP=\sqrt{PD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(1+x)^{2}+1}.$
Таким образом,
$\frac{\sqrt{(1+x)^{2}+1}}{x+\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.$
После возведения в квадрат и очевидных упрощений получим квадратное уравнение
$5x^{2}-2x-7=0,$
Из которого находим, что $x=-1$ (что не удовлетворяет условию задачи) или $x=\frac{7}{5}$.
Из подобия треугольников $ALP$ и $BLC$ находим, что
$\frac{AL}{LB}=\frac{AP}{BC}=x=\frac{7}{5}.$
Следовательно,
$\frac{5AL}{LB}=5\cdot\frac{7}{5}=7$.
