Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16266
2026-02-17 
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Точка $I_{A}$ - центр вневписанной со стороны $BC$ окружности треугольника $ABC$, а точки $K$ и $L$ - середины отрезков $DI_{A}$ и $EI_{A}$ соответственно. Прямые $BK$ и $CL$ пересекаются в точке $F$, лежащей внутри угла $BAC$. Найдите $\angle BFC$, если $\angle BAC=50^{\circ}$
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Прямоугольные треугольники $DXI_{A}$ и $EYI_{A}$ симметричны относительно биссектрисы угла $A$, а т.к.
$KD=KL=\frac{1}{2}DX=\frac{1}{2}EY=LY=LE$
(см. задачу 4775), то равны и равнобедренные треугольники $DKX$ и $YLE$. При этом для точек $B$ и $C$, лежащих на их основаниях, верно равенство $BD=CY=p-b$, где $p$ - полупериметр треугольника $ABC$, а $b=AC$ (см. задачи 4014 и 5350). Тогда равны треугольники $BDK$ и $CYL$, поэтому
$\angle KBD=\angle LCY=180^{\circ}-\angle ACF.$
Значит, $ABFC$ - вписанный четырёхугольник (см. задачу 8136). Следовательно (см. задачу @H6),
$\angle BFC=180^{\circ}-\angle BAC=130^{\circ}$.
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Точка $I_{A}$ - центр вневписанной со стороны $BC$ окружности треугольника $ABC$, а точки $K$ и $L$ - середины отрезков $DI_{A}$ и $EI_{A}$ соответственно. Прямые $BK$ и $CL$ пересекаются в точке $F$, лежащей внутри угла $BAC$. Найдите $\angle BFC$, если $\angle BAC=50^{\circ}$
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Прямоугольные треугольники $DXI_{A}$ и $EYI_{A}$ симметричны относительно биссектрисы угла $A$, а т.к.
$KD=KL=\frac{1}{2}DX=\frac{1}{2}EY=LY=LE$
(см. задачу 4775), то равны и равнобедренные треугольники $DKX$ и $YLE$. При этом для точек $B$ и $C$, лежащих на их основаниях, верно равенство $BD=CY=p-b$, где $p$ - полупериметр треугольника $ABC$, а $b=AC$ (см. задачи 4014 и 5350). Тогда равны треугольники $BDK$ и $CYL$, поэтому
$\angle KBD=\angle LCY=180^{\circ}-\angle ACF.$
Значит, $ABFC$ - вписанный четырёхугольник (см. задачу 8136). Следовательно (см. задачу @H6),
$\angle BFC=180^{\circ}-\angle BAC=130^{\circ}$.
