Пусть $x$, $y$ и $z$ - произвольные действительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение
$\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+(x-y)^{2}}+\sqrt{1+(y-z)^{2}}+\sqrt{1+(3-z)^{2}}?$
Подробнее
Какую наибольшую длину может иметь четвёртая сторона выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, если три других стороны равны 15, 10 и 7 (в порядке убывания длин)? В ответе укажите квадрат длины четвёртой стороны
Подробнее
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты такие точки $K$ и $M$, что $AK:KB=k:1$ и $BM:MC=5:2$. Отрезки $AM$ и $CK$ пересекаются в точке $P$. При каком наименьшем целом $k$ отношение площади треугольника $AKP$ к площади треугольника $CMP$ также будет целым
Подробнее
$BH$ - высота остроугольного треугольника, $O$ - центр окружности, описанной около этого треугольника. Найдите угол $BAO$, если угол $HBC$ равен $15^{\circ}$
Подробнее
Найдите высоту $AH$ треугольника $ABC$, которая его медиану $BM=27$ делит пополам, если известно, что $BC=30$. В ответ запишите квадрат высоты $AH$
Подробнее
На диагонали $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечена точка $E$, причём $AB=DE$ и $BC=AE$. Оказалось также, что $\angle CBD=\angle BAE=14^{\circ}$, $\angle BCD=138^{\circ}$. Найдите $\angle ABD$
Подробнее
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. На стороне $AC$ выбрана такая точка $K$, что угол $CBK$ равен $15^{\circ}$. На луче $BK$ отмечена такая точка M, что угол $ACM$ равен $90^{\circ}$. Докажите, что $AC=BM$
Подробнее
Внутри треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $AP=BP=CP$ и величины углов $APB$, $BPC$ и $CPA$ относятся как $2:3:4$. Найдите наибольший угол треугольника $ABC$
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ одна из сторон видна из центра $O$ описанной окружности под углом $100^{\circ}$. Какое наименьшее значение может принимает угол $A$ этого треугольника
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $C_{1}$, причём $AC_{1}=2$, $C_{1}B=3$. Биссектриса $AE$ делит сторону $BC$ в отношении $BE:EC=1:2$. Найдите $B_{1}C$, где $B_{1}$ - вторая точка пересечения описанной окружности треугольника $BCC_{1}$ с прямой $AC$
Подробнее
Квадрат площади 4 вписан в криволинейный треугольник, ограниченный дугами двух равных касающихся окружностей радиуса $R$ и их общей касательной (см.рис.). Найдите $R$
Подробнее
Найдите квадрат минимальной суммы расстояний до вершин от точки внутри треугольника со сторонами 3 и 5 и углом $30^{\circ}$ между ними
Подробнее
Найдите квадрат минимальной суммы расстояний до вершин от точки внутри треугольника со сторонами 2, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$
Подробнее
Найдите наибольший угол выпуклого четырёхугольника, если известно, что величины внешних углов четырёхугольника относятся как $3:4:5:8$
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ серединный перпендикуляр к боковой стороне $BC$ пересекает основание $AB$ в точке $D$, причём $AC=AD$. Найдите угол $ABC$
Подробнее
