Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16221
2026-02-16 
Квадрат площади 4 вписан в криволинейный треугольник, ограниченный дугами двух равных касающихся окружностей радиуса $R$ и их общей касательной (см.рис.). Найдите $R$
Решение:
Пусть прямая касается окружностей с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ в точках $A$ и $B$ соответственно, вершины $M$ и $N$ квадрата $KLNM$ лежат на первой и второй окружностях соответственно, вершины $K$ и $L$ - на прямой $AB$, $P$ - точка пересечения c отрезком $AB$ общей касательной окружностей, проведённой в точке $Q$ их касания ($P$ - середина $AB$).
Первый способ. В равнобедренной трапеции $O_{1}O_{2}NM$ боковые стороны $O_{1}M$ и $O_{2}N$ равны $R$, основания $O_{1}O_{2}$ и $MN$ равны $2R$ и 2 соответственно. Проведём высоту $NH$ трапеции. Тогда
$NH=KH-KN=O_{1}A-KN=R-2,~O_{2}H=\frac{O_{1}O_{2}-MN}{2}=\frac{2R-2}{2}=R-1.$
Из прямоугольного треугольника $O_{2}HN$ получаем
$O_{2}N^{2}=NH^{2}+O_{2}H^{2},~\mbox{или}~R^{2}=(R-2)^{2}+(R-1)^{2}~\Leftrightarrow~R^{2}-6R+5=0.$
Корень $R=1$ этого уравнения не удовлетворяет условию задачи, т.к. тогда радиус окружности меньше стороны квадрата. Следовательно, $R=5$.
Второй способ. Пусть $AD$ - диаметр первой окружности. Поскольку $\frac{AD}{AP}=2=\frac{ML}{LP}$, точка $M$ лежит на отрезке $DP$, а т.к. $AM$ - высота прямоугольного треугольника $DAP$, проведённая из вершины прямого угла, то
$PM=\frac{AP^{2}}{DP}=\frac{O_{1}Q^{2}}{\sqrt{AP^{2}+AD^{2}}}=\frac{O_{1}Q^{2}}{\sqrt{R^{2}+4R^{2}}}=\frac{R^{2}}{R\sqrt{5}}=\frac{R}{\sqrt{5}}.$
С другой стороны,
$PM=\sqrt{PL^{2}+ML^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.$
Из равенства $\frac{R}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ находим, что $R=5$
Квадрат площади 4 вписан в криволинейный треугольник, ограниченный дугами двух равных касающихся окружностей радиуса $R$ и их общей касательной (см.рис.). Найдите $R$
Решение:
Пусть прямая касается окружностей с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ в точках $A$ и $B$ соответственно, вершины $M$ и $N$ квадрата $KLNM$ лежат на первой и второй окружностях соответственно, вершины $K$ и $L$ - на прямой $AB$, $P$ - точка пересечения c отрезком $AB$ общей касательной окружностей, проведённой в точке $Q$ их касания ($P$ - середина $AB$).
Первый способ. В равнобедренной трапеции $O_{1}O_{2}NM$ боковые стороны $O_{1}M$ и $O_{2}N$ равны $R$, основания $O_{1}O_{2}$ и $MN$ равны $2R$ и 2 соответственно. Проведём высоту $NH$ трапеции. Тогда
$NH=KH-KN=O_{1}A-KN=R-2,~O_{2}H=\frac{O_{1}O_{2}-MN}{2}=\frac{2R-2}{2}=R-1.$
Из прямоугольного треугольника $O_{2}HN$ получаем
$O_{2}N^{2}=NH^{2}+O_{2}H^{2},~\mbox{или}~R^{2}=(R-2)^{2}+(R-1)^{2}~\Leftrightarrow~R^{2}-6R+5=0.$
Корень $R=1$ этого уравнения не удовлетворяет условию задачи, т.к. тогда радиус окружности меньше стороны квадрата. Следовательно, $R=5$.
Второй способ. Пусть $AD$ - диаметр первой окружности. Поскольку $\frac{AD}{AP}=2=\frac{ML}{LP}$, точка $M$ лежит на отрезке $DP$, а т.к. $AM$ - высота прямоугольного треугольника $DAP$, проведённая из вершины прямого угла, то
$PM=\frac{AP^{2}}{DP}=\frac{O_{1}Q^{2}}{\sqrt{AP^{2}+AD^{2}}}=\frac{O_{1}Q^{2}}{\sqrt{R^{2}+4R^{2}}}=\frac{R^{2}}{R\sqrt{5}}=\frac{R}{\sqrt{5}}.$
С другой стороны,
$PM=\sqrt{PL^{2}+ML^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.$
Из равенства $\frac{R}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ находим, что $R=5$
