Точка $M$ - середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Касательные, проведённые из $M$ к вписанной окружности треугольника $ABC$, касаются этой окружности в точках $P$ и $Q$. Касательные из $M$ к вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$, касаются этой окружности в точках $R$ и $S$. Прямые $PQ$ и $RS$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $AX=AM$. Найдите угол $BAC$
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AD$ и $CD$ соответственно. Прямые, проходящие через $M$ и $N$ и параллельные соответственно $AB$ и $BC$, пересекаются в точке $P$, лежащей внутри четырёхугольника $ABCD$, а прямая $BP$ повторно пересекает $\omega$ в точке $Q$, лежащей на дуге $CD$. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$, $Q$ лежат на одной окружност?
Подробнее
В угол $AOC$ вписаны окружности $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ (радиус $\Omega_{1}$ больше). Окружность $\Omega_{1}$ касается сторон угла в точках $A$ и $B$, а окружность $\Omega_{2}$ - в точках $D$ и $C$ соответственно. Точка $M$ - середина отрезка $BC$. Прямые $MA$ и $MD$ вторично пересекают окружности $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ соответственно в точках $X$ и $Y$. Прямые $BX$ и $CY$ пересекаются в точке $Z$. Докажите что прямая $MZ$ проходит через середину отрезка $AD$
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполнено $AB=BC=CD$, и каждая из диагоналей равна какой-то стороне. Найдите углы четырёхугольника. (Ответ нужно выразить в градусах.
Подробнее
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. На стороне $AC$ выбрана точка $K$, причём $\angle CBK=15^{\circ}$. На луче $BK$ отмечена точка $M$, причём $\angle ACM=90^{\circ}$. Докажите, что $AC=BM$
Подробнее
В треугольнике $ABC$, в котором все три стороны попарно различны, проведены биссектрисы углов $A$ и $B$, делящие его на четырёхугольник и три треугольника, два из которых равнобедренные. Найдите углы исходного треугольника
Подробнее
Вершины $D$ и $E$ четырёхугольника $ACDE$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. На стороне $AC$ взята такая точка $B$, что треугольник $BCD$ равнобедренный c основанием $BC$. Пусть углы $BDC$, $ABE$, $ADE$ равны $80^{\circ}$. Найдите угол $EAD$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ c прямым углом при вершине $A$ и углом $30^{\circ}$ при вершине $A$ вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $AC$ - в точке $Q$, а $M$ - середина стороны $AC$. Докажите, что $PM=PQ$
Подробнее
Вокруг треугольника $ABC$ с углом $60^{\circ}$ при вершине $B$ описана окружность. Касательные к ней, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекаются в точке $B_{1}$. На лучах $AB$ и $CB$ отметили точки $A_{0}$ и $C_{0}$ соответственно, причём $AA_{0}=AC=CC_{0}$. Докажите, что точки $A_{0}$, $C_{0}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой
Подробнее
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$ и $\angle ABC=90^{\circ}$. На стороне $AC$ выбрана такая точка $P$, что $AP=AB$, на стороне $BC$ выбрана такая точка $Q$, что $BQ=BH$. Докажите, что прямые $PQ$ и $AB$ параллельны
Подробнее
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B=90^{\circ}$. На сторонах $AC$ и $BC$ выбраны точки $E$ и $D$ соответственно, причём $AE=EC$ и $\angle ADB=\angle EDC$. Найдите отношение $CD:BD$
Подробнее
Точка $B$ - середина отрезка AC. Квадрат $ABDE$ и равносторонний треугольник $BCF$ расположены в одной полуплоскости от прямой $AC$. Найдите (в градусах) величину угла между прямыми $CD$ и $AF$
Подробнее
Точка $O$ - центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Луч $AO$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Точки $E$ и $F$ на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно выбираются так, что около четырёхугольника $AEPF$ можно описать окружность. Докажите, что проекция отрезка $EF$ на сторону $BC$ не зависит от выбора точек $E$ и $F$
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$ так, что окружность, описанная около треугольника $PA_{1}B_{1}$, касается стороны $AB$. Найдите $PC_{1}$, если $PA=30$ и $PB=10$
Подробнее
Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника с основанием 1, у которого биссектриса, медиана и заключённый между ними отрезок противоположной стороны также образуют равнобедренный треугольник
Подробнее
