Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16223
2026-02-16 
Найдите квадрат минимальной суммы расстояний до вершин от точки внутри треугольника со сторонами 2, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$
Решение:
Пусть $AB=2$, $BC=\sqrt{3}$ и $AC=\sqrt{7}$ - стороны треугольника $ABC$. Поскольку
$AC^{2}=7=4+3=AB^{2}+BC^{2},$
этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Значит, точка $P$, для которой сумма расстояний до вершин треугольника $ABC$ минимальна, действительно лежит внутри треугольника, и тогда это точка, из которой все стороны видны под углом $120^{\circ}$ (см. задачу 9891).
Обозначим $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$. По теореме косинусов из треугольников $APB$, $APC$ и $BPC$ с углами $120^{\circ}$ при общей вершине $P$ получаем
$x^{2}+y^{2}+xy=4,~x^{2}+z^{2}+xz=7,~y^{2}+z^{2}+yz=3.$
Сложив эти равенства, получим
$2(x^{2}+y^{2}+x^{2})+xy+xz+yz=14,~$
$x^{2}+y^{2}+x^{2}=\frac{1}{2}(14-xy-xz-yz),$
а т.к.
$\frac{1}{2}xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}xz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}yz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=S_{\Delta APB}+S_{\Delta APC}+S_{\Delta BPC}=S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4},$
то $xy+xz+yz=4$. Следовательно,
$(PA+PB+PC)^{2}=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)=\frac{1}{2}(14-xy-xz-yz)+2(xy+xz+yz)=\frac{1}{2}(14-4)+8=13$.
Найдите квадрат минимальной суммы расстояний до вершин от точки внутри треугольника со сторонами 2, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$
Решение:
Пусть $AB=2$, $BC=\sqrt{3}$ и $AC=\sqrt{7}$ - стороны треугольника $ABC$. Поскольку
$AC^{2}=7=4+3=AB^{2}+BC^{2},$
этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Значит, точка $P$, для которой сумма расстояний до вершин треугольника $ABC$ минимальна, действительно лежит внутри треугольника, и тогда это точка, из которой все стороны видны под углом $120^{\circ}$ (см. задачу 9891).
Обозначим $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$. По теореме косинусов из треугольников $APB$, $APC$ и $BPC$ с углами $120^{\circ}$ при общей вершине $P$ получаем
$x^{2}+y^{2}+xy=4,~x^{2}+z^{2}+xz=7,~y^{2}+z^{2}+yz=3.$
Сложив эти равенства, получим
$2(x^{2}+y^{2}+x^{2})+xy+xz+yz=14,~$
$x^{2}+y^{2}+x^{2}=\frac{1}{2}(14-xy-xz-yz),$
а т.к.
$\frac{1}{2}xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}xz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}yz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=S_{\Delta APB}+S_{\Delta APC}+S_{\Delta BPC}=S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4},$
то $xy+xz+yz=4$. Следовательно,
$(PA+PB+PC)^{2}=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)=\frac{1}{2}(14-xy-xz-yz)+2(xy+xz+yz)=\frac{1}{2}(14-4)+8=13$.
