ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-16   
Точка $O$ - центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Луч $AO$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Точки $E$ и $F$ на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно выбираются так, что около четырёхугольника $AEPF$ можно описать окружность. Докажите, что проекция отрезка $EF$ на сторону $BC$ не зависит от выбора точек $E$ и $F$


Решение:


Пусть прямые $EF$ и $BC$ пересекаются в точке $M$, а угол между этими прямыми равен $\gamma$ (если $EF\parallel BC$, то полагаем $\gamma=0$). Тогда проекция $d$ отрезка $EF$ на прямую $BC$ равна $EF\cos\gamma$.
Обозначим $\angle BAP=\alpha$, $\angle CAP=\beta$, $\angle AFE=\varphi$. Пусть луч $AO$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $N$. Тогда $AC\perp CN$,

$\angle PCN=\angle BCN=\angle BAN=\angle BAP=\alpha,$

$\angle PBN=\angle CBN=\angle BAN=\beta,$

а т.к. четырёхугольник $AEPF$ вписанный, то

$\angle PFE=\angle PAE=\alpha,~\angle PEF=\angle PAF=\beta.$


Пусть $P$ - проекция точки $F$ на сторону $BC$. Тогда $\angle DFC=\angle BDN=\alpha$ (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Из прямоугольного треугольника $FDM$ получаем

$\gamma=\angle BMF=90^{\circ}-\angle DFM=90^{\circ}-(\alpha+\varphi),$

поэтому

$\cos\gamma=\cos(90^{\circ}-(\alpha+\varphi))=\sin(\alpha+\varphi).$

Кроме того,

$\angle PFA=\angle PFE+\angle EFA=\alpha+\varphi.$


Пусть радиус окружности, описанной около четырёхугольника $AEPF$, равен $r$. По теореме синусов

$EF=2r\sin\angle EAF=2r\sin(\alpha+\beta),~AP=2r\sin\angle AFP=2r\sin(\alpha+\varphi).$

Значит,

$d=EF\cos\gamma=2r\sin(\alpha+\beta)\cdot\sin(\alpha+\varphi)=2r\sin(\alpha+\varphi)\cdot\sin(\alpha+\beta)=AP\sin(\alpha+\beta)=AP\sin\angle BAC.$

Следовательно, $d$ не зависит от выбора точек $E$ и $F$