Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16203
2026-02-16 
В треугольнике $ABC$ c прямым углом при вершине $A$ и углом $30^{\circ}$ при вершине $A$ вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $AC$ - в точке $Q$, а $M$ - середина стороны $AC$. Докажите, что $PM=PQ$
Решение:
Пусть $O$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $r$ - её радиус, $R$ - точка касания с катетом $BC$. Медиана $BM$ прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине гипотенузы (см. задачу 4775), поэтому треугольник $QCR$ равнобедренный (даже равносторонний, т.к. $\angle QCR=60^{\circ}$).
Из равенства $CQ=CR$ получаем, что $QM=BR$, а т.к. $BPOR$ - квадрат, то
$QM=BR=OP=r.$
Проведём высоту $PS$ треугольника $MPQ$. Поскольку $OQ\perp AC$ и $PS\perp AC$, прямые $PS$ и $OQ$ параллельны. По теореме об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол при вершине $P$ прямоугольной трапеции $POQS$ равен углу $BAC$, т.е. $30^{\circ}$. Значит,
$QS=\frac{1}{2}OP=\frac{r}{2}=\frac{1}{2}QM,$
и $S$ - середина отрезка $QM$. Высота $PS$ треугольника $MPQ$ является медианой, следовательно этот треугольник равнобедренный, $PM=PQ$. Что и требовалось доказать
В треугольнике $ABC$ c прямым углом при вершине $A$ и углом $30^{\circ}$ при вершине $A$ вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $AC$ - в точке $Q$, а $M$ - середина стороны $AC$. Докажите, что $PM=PQ$
Решение:
Пусть $O$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $r$ - её радиус, $R$ - точка касания с катетом $BC$. Медиана $BM$ прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине гипотенузы (см. задачу 4775), поэтому треугольник $QCR$ равнобедренный (даже равносторонний, т.к. $\angle QCR=60^{\circ}$).
Из равенства $CQ=CR$ получаем, что $QM=BR$, а т.к. $BPOR$ - квадрат, то
$QM=BR=OP=r.$
Проведём высоту $PS$ треугольника $MPQ$. Поскольку $OQ\perp AC$ и $PS\perp AC$, прямые $PS$ и $OQ$ параллельны. По теореме об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол при вершине $P$ прямоугольной трапеции $POQS$ равен углу $BAC$, т.е. $30^{\circ}$. Значит,
$QS=\frac{1}{2}OP=\frac{r}{2}=\frac{1}{2}QM,$
и $S$ - середина отрезка $QM$. Высота $PS$ треугольника $MPQ$ является медианой, следовательно этот треугольник равнобедренный, $PM=PQ$. Что и требовалось доказать
