ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-16   
Вокруг треугольника $ABC$ с углом $60^{\circ}$ при вершине $B$ описана окружность. Касательные к ней, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекаются в точке $B_{1}$. На лучах $AB$ и $CB$ отметили точки $A_{0}$ и $C_{0}$ соответственно, причём $AA_{0}=AC=CC_{0}$. Докажите, что точки $A_{0}$, $C_{0}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой


Решение:


Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\angle ACB_{1}=\angle CAB_{1}=\angle ABC=60^{\circ},$

поэтому треугольник $ACB_{1}$ равносторонний. Значит, $AC=AA_{0}=AB_{1}$, т.е. треугольник $B_{1}AA_{0}$ равнобедренный с основанием $B_{1}A_{0}$.
Обозначим $\angle BAC=\alpha$, $\angle ACB=\gamma$. Тогда

$\angle AB_{1}A_{0}=\frac{180^{\circ}-\angle B_{1}AA_{0}}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha+60^{\circ}}{2}=\frac{120^{\circ}-\alpha}{2}\lt60^{\circ}.$

Значит, точки $A_{0}$ лежит внутри угла $AB_{1}C$. Аналогично, $\angle CB_{1}C_{0}=\frac{120^{\circ}-\gamma}{2}$. Тогда

$\angle AB_{1}A_{0}+\angle CB_{1}C_{0}=\frac{120^{\circ}-\alpha}{2}+\frac{120^{\circ}-\gamma}{2}=\frac{240^{\circ}-\alpha-\gamma}{2}=\frac{240^{\circ}-120^{\circ}}{2}=60^{\circ}=\angle AB_{1}C.$

Значит, лучи $B_{1}A_{0}$ и $B_{1}C_{0}$ совпадают. Отсюда следует утверждение задачи