Гравитационная сила, действующая на частицу, которая помещена в твердый однородный шар, прямо пропорциональна расстоянию от центра шара. Если принять за такой шар Землю и просверлить сквозь нее вдоль ее диаметра, соединяющего полюса, отверстие, то сколько времени понадобится телу, попавшему в это отверстие, чтобы достигнуть поверхности с противоположной стороны Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Подробнее
Точка подвеса математического маятника, период собственных колебаний которого равен 1 сек, совершает синусоидальные колебания с амплитудой 1,00 см и периодом 1,10 сек. Какова амплитуда установившихся колебаний маятника?
Подробнее
Составьте и решите дифференциальное уравнение, описывающее поведение тока, когда он протекает:
а) по индуктивности $L$,
б) по емкости $C$,
если к ним приложено синусоидальное напряжение частоты $\omega$. Найдите комплексный импеданс указанных выше цепей.
Подробнее
Найдите зависимость импеданса (полного сопротивления) $\bar{Z}$ от частоты $\omega$ для цепи, состоящей из индуктивности $L$ и емкости $C$, если они соединены:
а) последовательно,
б) параллельно.
Качественно обсудите полученные результаты.
Подробнее
а) Покажите, что дифференциальное уравнение, описывающее движение прикрепленного к пружине с упругой постоянной $k$ тела массы $m$, на которое действует сила трения - $m \gamma v$, имеет вид
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \gamma \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2}x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$.
б) Найдите решение этого уравнения (используйте комплексную форму записи!), предполагая, что оно имеет вид $x = e^{ \alpha t}$, а затем покажите, что общее решение дается выражением
$x = e^{ \frac{1}{2} \gamma t } \left [ A \cos \left ( \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } t \right ) + B \sin \left ( \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \frac{ \gamma^{2} }{4} } t \right ) \right ]$,
если $\gamma < 2 \omega_{0}$.
в) Как изменится вид найденного решения, если $\gamma > 2 \omega_{0}$?
Подробнее
Часто требуется, чтобы в электрической цепи имелось синусоидальное напряжение постоянной амплитуды, но переменной фазы. Электрическая схема, с помощью которой можно осуществить это требование, называется цепью с фазовым сдвигом. Один из примеров такой цепи показан на рисунке. Докажите, что амплитуда напряжения между точками А и В составляет половину амплитуды входного напряжения, а фаза может меняться в пределах от 0 до $180^{ \circ}$ при изменении $R^{ \prime}$.
Подробнее
На входе цепей А и В (см. рисунок) находится источник с напряжением $V_{вх} = V_{0} \cos \omega t$. Положим, что ток, протекающий через клеммы на выходе цепей, пренебрежимо мал.
а) Найдите соотношение, которое должно существовать между $R, C, R^{ \prime}$ и $L$, чтобы выходные напряжения обеих цепей $V_{A}(t)$ и $V_{B}(t)$ были равны.
б) Найдите постоянные токи $I_{A}(t)$ и $I_{B}(t)$.
Подробнее
Конденсатор емкостью $C$ и катушка с индуктивностью $L$ соединены так, как показано на рисунке. Конденсатор первоначально заряжен до напряжения $V_{0}$, а ключ S разомкнут. В момент времени $t=0$ он замыкается.
а) Найдите напряжение на конденсаторе в зависимости от времени.
б) Рассчитайте зависимость от времени величин $CV^{2}/2$ и $LI^{2}/2$. Каков, по-вашему, физический смысл этих величин?
Подробнее
В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ S вначале замкнут. По цепи протекает постоянный ток $I=V_{0}/R$. В момент времени $t = 0$ ключ внезапно размыкает цепь.
Найдите максимальное напряжение на конденсаторе.
Подробнее
Найдено, что тело массы 5,0 кг колеблется с затуханием, которым можно пренебречь. Подвешенное на пружине тело совершает 10 полных колебаний за 10,0 сек, затем приводится в действие маленький магнитный замедлитель движения и появляется затухание, пропорциональное скорости движения. В результате амплитуда колебаний уменьшается за 10 полных циклов от 0,2 до 0,1 м.
а) Составьте уравнение движения тела, причем коэффициенты перед членами $d^{2}x/dt^{2}, dx/dt$ и $x$ выразите в численном виде, воспользовавшись системой единиц MKS.
б) Чему равен новый период колебаний тела?
в) За сколько колебаний (начиная с цикла с амплитудой 0,2 м) амплитуда уменьшается до 0,05 м? До 0,02 м?
г) Чему равна максимальная скорость диссипации энергии в течение первого колебания?
Подробнее
Чтобы уменьшить колебания напряжения, снимаемого с выпрямительного устройства, используется так называемый «сглаживающий» фильтр. В простейшей форме он состоит из сопротивления ($r = 10^{3} ом$), соединенного с конденсатором ($C = 10 мкф$) так, как показано на рисунке. Найдите напряжение на выходе конденсатора, если входное напряжение имеет постоянную компоненту $V_{0}$ и переменную компоненту с циклической частотой $120 сек^{-1}$ и амплитудой $V_{2}$.
Подробнее
Во многих случаях желательно иметь электрическую цепь, которая «дифференцирует» функцию, описывающую подаваемое на ее вход напряжение по времени. Простая цепь, удовлетворяющая этому требованию, изображена на рисунке. Покажите, что выходное напряжение в такой цепи (если пренебречь током, протекающим на выходе) равно
$V_{вых}(t) = RC \frac{dV_{вх} }{dt}$
при условии, что
$|V_{вых}| \ll |V_{вх} |$.
Подробнее
Найдите $V_{вых}$ в цепи, изображенной на рисунке к задаче 10826, для случая, когда $V_{вх} = V_{0} \cos \omega t$, и проверьте еще раз правильность результата, полученного выше.
Подробнее
Придумайте простую цепь, которая «интегрировала» бы входную функцию, и обсудите ее свойства.
Подробнее
Тело массы $m$, прикрепленное двумя одинаковыми горизонтальными пружинами с упругими постоянными $k/2$, скользит по поверхности стола. Предполагается, что коэффициент трения постоянен. Тело оттягивается в сторону на расстояние $A$ вправо от центральной точки и затем отпускается.
а) Составьте дифференциальное уравнение движения тела и решите его для временного интервала
$0 < t < \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
б) Каково должно быть расстояние $A$, чтобы размах колебания тела оставался больше расстояния $B$ от центра после пересечения точки $x=0$ целое число (0, 1, 2 $\cdots$) раз?
Подробнее
