Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10829
2019-10-11 
Тело массы $m$, прикрепленное двумя одинаковыми горизонтальными пружинами с упругими постоянными $k/2$, скользит по поверхности стола. Предполагается, что коэффициент трения постоянен. Тело оттягивается в сторону на расстояние $A$ вправо от центральной точки и затем отпускается.
а) Составьте дифференциальное уравнение движения тела и решите его для временного интервала
$0 < t < \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
б) Каково должно быть расстояние $A$, чтобы размах колебания тела оставался больше расстояния $B$ от центра после пересечения точки $x=0$ целое число (0, 1, 2 $\cdots$) раз?
Решение:
а) На тело, сдвинутое на расстояние $x$ от центральной точки, действуют две упругие силы: со стороны правой пружины сила, равная $- \frac{k}{2}x$, и со стороны левой-сила, равная $- \frac{k}{2}x$. Суммарная упругая сила, таким образом, равна $-kx$. В предположении о постоянстве коэффициента трения $f$ сила трения равна по величине $fmg$, где $g$ - ускорение, и направлена всегда против движения. В отсутствие трения движение тела описывалось бы дифференциальным уравнением $\ddot{x} + \omega^{2}x = 0$, где $\omega$ - частота колебаний, равная $\omega = \sqrt{k/m}$. В течение интервала времени $0 < t < \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$, т. е. в первый полупериод колебания, тело двигалось бы налево. Если учесть трение, то при движении налево на тело действовала бы сила трения, равная $fmg$. Уравнение движения для этого временнбго интервала записывается следующим образом:
$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = fg$.
Общее решение этого уравнения имеет вид
$x(t) = C \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } + D \sin \sqrt{ \frac{k}{m} } + \frac{mfg}{k}$.
Удовлетворяя начальным условиям $x(0) = A, \dot{x}(0) = 0$, находим, что для $0 < t < \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$
$x(t) = \left (A - \frac{fmg}{k} \right ) \cos \sqrt{ \frac{k}{m}} t + \frac{mfg}{k}$.
Из этого решения следует, что в момент времени $t = \pi \sqrt{m/k}$ тело достигнет крайней левой точки $x = - \left [A - \frac{2mfg}{k} \right ]$, остановится, а затем начнет двигаться вправо. Даже без решения уравнения движения в следующий полупериод колебания ясно, что за половину периода сила трения каждый раз приводит к уменьшению амплитуды колебания на величину, равную $\frac{2mfg}{k}$.
б) Если тело $n$ раз пересечет точку $x = 0$, то из вышеприведенного рассуждения следует, что амплитуда колебания тела станет равной
$A - n \frac{2mfg}{k} $.
Чтобы размах колебания тела после $n$ пересечений точки $x = 0$ оставался больше $B$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
$B \leq A - n \frac{2mfg}{k}$,
т. е. должно быть
$A \geq B + n \frac{2mfg}{k}$.
Тело массы $m$, прикрепленное двумя одинаковыми горизонтальными пружинами с упругими постоянными $k/2$, скользит по поверхности стола. Предполагается, что коэффициент трения постоянен. Тело оттягивается в сторону на расстояние $A$ вправо от центральной точки и затем отпускается.
а) Составьте дифференциальное уравнение движения тела и решите его для временного интервала
$0 < t < \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
б) Каково должно быть расстояние $A$, чтобы размах колебания тела оставался больше расстояния $B$ от центра после пересечения точки $x=0$ целое число (0, 1, 2 $\cdots$) раз?
Решение:
а) На тело, сдвинутое на расстояние $x$ от центральной точки, действуют две упругие силы: со стороны правой пружины сила, равная $- \frac{k}{2}x$, и со стороны левой-сила, равная $- \frac{k}{2}x$. Суммарная упругая сила, таким образом, равна $-kx$. В предположении о постоянстве коэффициента трения $f$ сила трения равна по величине $fmg$, где $g$ - ускорение, и направлена всегда против движения. В отсутствие трения движение тела описывалось бы дифференциальным уравнением $\ddot{x} + \omega^{2}x = 0$, где $\omega$ - частота колебаний, равная $\omega = \sqrt{k/m}$. В течение интервала времени $0 < t < \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$, т. е. в первый полупериод колебания, тело двигалось бы налево. Если учесть трение, то при движении налево на тело действовала бы сила трения, равная $fmg$. Уравнение движения для этого временнбго интервала записывается следующим образом:
$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = fg$.
Общее решение этого уравнения имеет вид
$x(t) = C \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } + D \sin \sqrt{ \frac{k}{m} } + \frac{mfg}{k}$.
Удовлетворяя начальным условиям $x(0) = A, \dot{x}(0) = 0$, находим, что для $0 < t < \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$
$x(t) = \left (A - \frac{fmg}{k} \right ) \cos \sqrt{ \frac{k}{m}} t + \frac{mfg}{k}$.
Из этого решения следует, что в момент времени $t = \pi \sqrt{m/k}$ тело достигнет крайней левой точки $x = - \left [A - \frac{2mfg}{k} \right ]$, остановится, а затем начнет двигаться вправо. Даже без решения уравнения движения в следующий полупериод колебания ясно, что за половину периода сила трения каждый раз приводит к уменьшению амплитуды колебания на величину, равную $\frac{2mfg}{k}$.
б) Если тело $n$ раз пересечет точку $x = 0$, то из вышеприведенного рассуждения следует, что амплитуда колебания тела станет равной
$A - n \frac{2mfg}{k} $.
Чтобы размах колебания тела после $n$ пересечений точки $x = 0$ оставался больше $B$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
$B \leq A - n \frac{2mfg}{k}$,
т. е. должно быть
$A \geq B + n \frac{2mfg}{k}$.
