В равнобедренной трапеции $ABCD$ основания $AD=12$, $BC=6$, высота равна 4. Диагональ $AC$ делит угол $BAD$ трапеции на две части. Какая из них больше?
Подробнее
В трапеции $ABCD$ большее основание $AD=19$, боковая сторона $AB=13$, а другая боковая сторона $CD=12$ и перпендикулярна основаниям. Биссектриса острого угла $BAD$ пересекает прямую $DC$ в точке $M$. Определите, где лежит точка $M$: на отрезке $DC$ или вне его?
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=2\sqrt{3}$, $AB=\sqrt{7}$, $BC=1$. Вне треугольника взята точка $K$ так, что отрезок $KC$ пересекает отрезок $AB$ в точке, отличной от $B$, и треугольник с вершинами $K$, $A$ и $C$ подобен исходному. Найдите угол $AKC$, если известно, что угол $KAC$ - тупой.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle CAB=75^{\circ}$, $\angle ABC=45^{\circ}$. На стороне $CA$ берётся точка $K$, причём $CK:AK=3$. На стороне $CB$ берётся точка $M$. Найдите $KM:AB$, если известно, что это отношение меньше $\frac{3}{4}$ и что прямая $MK$ отсекает от треугольника $ABC$ треугольник, ему подобный.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ точка $K$ на стороне $AB$ и точка $M$ на стороне $AC$ расположены так, что $\frac{AK}{KB}=\frac{3}{2}$, а $\frac{AM}{MC}=\frac{4}{5}$. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку $K$ параллельно стороне $BC$, делит отрезок $BM$.
Подробнее
Точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, а точка $O$ расположена на отрезке $AD$, причём $AO:OD=9:4$. Прямая, проходящая через вершину $B$ и точку $O$, пересекает сторону $AC$ в точке $E$, причём $BO:OE=5:6$. Найдите отношение, в котором точка $E$ делит сторону $AC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$, причём $AD=3$, косинус угла $BDC$ равен $\frac{13}{20}$, а сумма углов $ABC$ и $ADB$ равна $180^{\circ}$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $BC=2$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $b$, сторона $AB$ равна $c$, а биссектриса внутреннего угла $A$ пересекается со стороной $BC$ в точке $D$, такой, что $DA=DB$. Найдите длину стороны $BC$.
Подробнее
В прямоугольной трапеции $ABCD$ углы $A$ и $D$ - прямые, сторона $AB$ параллельна стороне $CD$; $AB=1$, $CD=4$, $AD=5$. На стороне $AD$ взята точка $M$, причём угол $CMD$ вдвое больше угла $BMA$. В каком отношении точка $M$ делит сторону $AD$?
Подробнее
В квадрате $ABCD$ площади 1 сторона $AD$ продолжена за точку $D$ и на продолжении взята точка $O$ на расстоянии 3 от точки $D$. Из точки $O$ проведены два луча. Первый луч пересекает отрезок $CD$ в точке $M$ и отрезок $AB$ в точке $N$, причём $ON=a$. Второй луч пересекает отрезок $CD$ в точке $L$ и отрезок $BC$ в точке $K$, причём $\angle BKL=\alpha$. Найдите площадь многоугольника $BKLMN$.
Подробнее
Теорема Чевы. Пусть точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ принадлежат сторонам (или их продолжениям) соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда
$\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1.$
Подробнее
Теорема Менелая. Дан треугольник $ABC$. Точки $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на сторонах соответственно $BC$ и $AB$, а точка $B_{1}$ - на продолжении стороны $AC$ за точку $C$. Докажите, что точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
$\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1.$
Подробнее
Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ делят стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в отношениях: $BA_{1}:A_{1}C=1:p$ и $AB_{1}:B_{1}C=1:q$. В каком отношении отрезок $AA_{1}$ делится отрезком $BB_{1}$?
Подробнее
Через точку $P$, лежащую на медиане $CC_{1}$ треугольника $ABC$, проведены прямые $AA_{1}$ и $BB_{1}$ (точки $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на сторонах $BC$ и $CA$ соответственно). Докажите, что $A_{1}B_{1}\parallel AB$.
Подробнее
Прямая, соединяющая точку $P$ пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$ с точкой $Q$ пересечения прямых $AB$ и $CD$, делит сторону $AD$ пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону $BC$.
Подробнее