На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $K$. Прямая $AK$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $L$ и $M$. Докажите, что $AK^{2}=LK\cdot KM$.
Подробнее
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ взята точка $E$, причём $AE=BC$. Отрезки $CA$ и $CE$ пересекают диагональ $BD$ в точках $O$ и $P$ соответственно. Докажите, что если $BO=PD$, то $AD^{2}=BC^{2}+AD\cdot BC$.
Подробнее
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, а точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ - на другой. Докажите, что если $AB_{1}\parallel BA_{1}$ и $AC_{1}\parallel CA_{1}$, то $BC_{1}\parallel CB_{1}$.
Подробнее
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, а точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ таковы, что $AB_{1}\parallel BA_{1}$, $AC_{1}\parallel CA_{1}$ и $BC_{1}\parallel CB_{1}$. Докажите, что точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной прямой.
Подробнее
(
Лемма биссектрального треугольника.) В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Докажите, что расстояние от любой точки $M$ отрезка $A_{1}B_{1}$ до прямой $AB$ равно сумме расстояний от $M$ до прямых $AC$ и $BC$.
Подробнее
Пусть $M$ и $N$ - середины сторон $AD$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$. На продолжении отрезка $DC$ за точку $D$ взята точка $P$; $Q$ - точка пересечения прямых $PM$ и $AC$. Докажите, что $\angle QNM=\angle MNP$.
Подробнее
На высотах $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ взяты точки $B_{2}$ и $C_{2}$ так, что $\angle AB_{2}C=\angle AC_{2}B=90^{\circ}$. Докажите, что $AB_{2}=AC_{2}$.
Подробнее
На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки $K$ и $L$, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые $AK$ и $AL$ делят отрезок $BC$ на равные части.
Подробнее
Отрезок $BE$ разбивает треугольник $ABC$ на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен $\sqrt{3}$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ из середины $H$ основания $BC$ опущен перпендикуляр $HE$ на боковую сторону $AC$; $O$ - середина отрезка $HE$. Докажите, что прямые $AO$ и $BE$ перпендикулярны.
Подробнее
На сторонах остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ так, что отрезки $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что $AH\cdot A_{1}H=BH\cdot B_{1}H=CH\cdot C_{1}H$ тогда и только тогда, когда $H$ - точка пересечения высот треугольника $ABC$.
Подробнее
В треугольник $ABC$ вписана полуокружность, диаметр которой лежит на стороне $BC$. Стороны $AB$ и $AC$ касаются полуокружности в точках $C_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются на высоте треугольника.
Подробнее
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Докажите, что если
$\angle B_{1}A_{1}C=\angle BA_{1}C_{1},~\angle A_{1}B_{1}C=\angle AB_{1}C_{1}~\mbox{и}~\angle A_{1}C_{1}B=\angle AC_{1}B_{1},$
то точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ являются основаниями высот треугольника $ABC$.
Подробнее
Докажите, что биссектрисы двух внутренних углов неравнобедренного треугольника и биссектриса внешнего угла, не смежного с ними, пересекают прямые, содержащие противоположные этим углам стороны треугольника, в точках, лежащих на одной прямой.
Подробнее
В трапеции основания равны $a$ и $b$, диагонали перпендикулярны, а угол между боковыми сторонами равен $\alpha$. Найдите площадь трапеции.
Подробнее