Точка $O$ - центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию $ABCD$ $(BC\parallel AD)$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $CD$ в точке $K$. Найдите углы и площадь трапеции, если $AO=5$, $OK=3$.
Подробнее
В равнобедренную трапецию $ABCD$ $(BC\parallel AD)$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся основания $AD$ в точке $P$ и пересекающая отрезок $BP$ в точке $Q$ такой, что $PQ=3BQ$. Найдите углы и площадь трапеции.
Подробнее
Равнобедренные треугольники $ABC$ $(AB=BC)$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ $(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})$ подобны и $AC:A_{1}C_{1}=5:\sqrt{3}$. Вершины $A_{1}$ и $B_{1}$ расположены соответственно на сторонах $AC$ и $BC$, а вершина $C_{1}$ - на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, причём $A_{1}B_{1}$ перпендикулярно $BC$. Найдите угол $ABC$.
Подробнее
Равнобедренные треугольники $ABC$ $(AB=BC)$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ $(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})$ подобны и $AB:A_{1}B_{1}=2:1$. Вершины $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ расположены соответственно на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$, причём $A_{1}B_{1}$ перпендикулярно $AC$. Найдите угол $ABC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ перпендикуляр, проходящий через середину стороны $AB$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $M$, причём $\frac{MC}{MB}=\frac{1}{5}$. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны $BC$, пересекает сторону $AC$ в точке $N$, причём $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB=BC)$ на высоте $BD$ как на диаметре построена окружность. Через точки $A$ и $C$ к окружности проведены касательные $AM$ и $CN$, продолжения которых пересекаются в точке $O$. Найдите отношение $\frac{AB}{AC}$, если $\frac{OM}{AC}=k$ и высота $BD$ больше основания $AC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$. Найдите $AC$, если $BC=a$, $AB=b$, $\frac{DE}{AC}=k$.
Подробнее
В точках $A$ и $B$ прямой, по одну сторону от неё, восстановлены два перпендикуляра $AA_{1}=a$ и $BB_{1}=b$. Докажите, что точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $A_{1}B$ будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой $AB$ независимо от положения точек $A$ и $B$.
Подробнее
Теорема о пропорциональных отрезках на параллельных прямых. Если через точку, не лежащую ни на одной из двух данных параллельных прямых $l$ и $l_{1}$, проведены прямые, пересекающие $l$ в точках $A$, $B$ и $C$, а $l_{1}$ - в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно, то отрезки $AB$ и $BC$ пропорциональны отрезкам $A_{1}B_{1}$ и $B_{1}C_{1}$, т.е. $\frac{AB}{BC}=\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены: $BK$ - медиана, $BE$ - биссектриса, $AD$ - высота. Найдите сторону $AC$, если известно, что прямые $BK$ и $BE$ делят отрезок $AD$ на три равные части и $AB=4$
Подробнее
Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 7. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ высота $BD$ равна 6, медиана $CE$ равна 5, расстояние от точки пересечения отрезков $BD$ и $CE$ до стороны $AC$ равно 1. Найдите сторону $AB$.
Подробнее
Площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{3}$, сторона $BC$ равна 1, угол $BCA$ равен $30^{\circ}$. Точка $D$ стороны $AB$ удалена от точки $B$ на 3, $M$ - точка пересечения $CD$ с медианой $BE$. Найдите отношение $BM:ME$.
Подробнее
В равнобедренный треугольник $ABC$ вписан ромб $DECF$ так, что вершина $E$ лежит на отрезке $BC$, вершина $F$ лежит на отрезке $AC$ и вершина $D$ лежит на отрезке $AB$. Найдите длину стороны ромба, если $AB=BC=12$, $AC=6$.
Подробнее
В равнобедренной трапеции $ABCD$ дано: $AB=CD=3$, основание $AD=7$, $\angle BAD$ равен $60^{\circ}$. На диагонали $BD$ расположена точка $M$ так, что $BM:MD=3:5$. Какую из сторон трапеции: $BC$ или $CD$ пересекает продолжение отрезка $AM$?
Подробнее