На всех клетках шахматной доски расставлены кубики. Грани кубиков и клетки шахматной доски конгруэнтны. У всех кубиков одна из граней выкрашена в черный цвет. Требуется повернуть кубики так, чтобы все четыре грани оказались сверху.
Доказать, что это можно сделать, если поворачивать разрешается не каждый кубик в отдельности, а лишь все кубики, стоящие на одной горизонтали или вертикали, вместе.
Подробнее
Какова вероятность того, что среди пяти вытянутых номеров лото имеются по крайней мере два последовательных (то есть отличающихся друг от друга на единицу) числа?
Подробнее
Дано $n$ точек, из которых никакие 3 не лежат на одной прямой. Несколько прямолинейных отрезков с концами в заданных точках выкрашены в красный, а несколько других - в синий цвет так, что из любой точки в любую другую можно попасть, двигаясь лишь вдоль окрашенных отрезков, причем этот путь определен однозначно.
Доказать, что оставшиеся еще не окрашенными отрезки с концами в заданных $n$ точках можно выкрасить либо в красный, либо в синий цвет так, чтобы у любого треугольника с вершинами в заданных точках число красных сторон было нечетным.
Подробнее
Имеется 30 копилок. Каждую копилку можно открыть лишь одним ключом, который не подходит ко всем остальным копилкам. Перемешав ключи, их бросили в запертые копилки наугад по одному. Две копилки взломали.
Какова вероятность того, что после этого все остальные копилки удастся открыть, не взламывая замков? (Открыв или взломав какую-либо копилку, мы можем использовать брошенный в нее ключ для открывания копилки, к которой он подходит.)
Подробнее
В классе учится одинаковое число мальчиков и девочек (всего класс насчитывает не менее 4 человек). Их в различном порядке выстраивают в один ряд и смотрят, нельзя ли разделить ряд на две части так, чтобы в каждой части девочек и мальчиков было поровну.
Пусть $a$ - число случаев, когда такое разбиение ряда невозможно, a $b$ - число случаев, когда удается разбить ряд на две части с одинаковым числом девочек и мальчиков в каждой из них, но лишь одним способом.
Доказать, что $b = 2a$.
Подробнее
Для учета посещаемости при входе в библиотеку повесили две доски. Каждый посетитель библиотеки обязан записать на одной доске, сколько читателей он застал, войдя в читальный зал, а на другой доске - сколько читателей оставалось в зале, когда он уходил из библиотеки.
Доказать, что за день на обеих досках появятся одни и те же числа (быть может, в различном порядке).
Подробнее
Дана бесконечная последовательность квадратов со сторонами длиной $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} , \cdots , \frac{1}{n} , \cdots , $. Доказать, что существует квадрат, в котором можно разместить все квадраты последовательности так, чтобы они не перекрывали друг друга, и определить, чему равна сторона наименьшего из квадратов, вмещающих все квадраты данной последовательности.
Подробнее
Вдоль дороги стоит 10 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря, стоящих подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 5 фонарей.
Подробнее
Пусть $n$ точек окружности соединены между собой всевозможными способами с помощью прямых линий, никакие три из которых не пересекаются в одной и той же внутренней точке круга. Определите число образованных этими прямыми треугольников, все вершины которых лежат внутри данного круга.
Подробнее
Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо пытается пополнить свою скудную профессорскую зарплату, участвуя в состязаниях на приз компании по производству мыла. В одном из таких соревнований требовалось определить число путей, двигаясь по которым на данной диаграмме можно было бы прочитать слово $МAТНЕМАТIСIАN$: Умбуджо насчитал 1587 путей, начинающихся в одной из первых пяти строк. Когда подошло время сообщить результаты, он был весьма озадачен, чтобы не сказать больше. Помогите профессору сосчитать все пути, используя как можно меньше вычислений.
Подробнее
На всемирном фестивале молодежи встретились 6 делегатов. Выяснилось, что среди любых трех из них двое могут объясниться между собой на каком-нибудь языке. Докажите, что тогда найдется тройка делегатов, каждый из которых может объясниться с каждым.
Подробнее
Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей, пожавших нечетное число рук, четно.
Подробнее
Сколькими способами 9 равных квадратиков (3 красных, 3 белых и 3 голубых) можно расположить в виде квадрата $3 \times 3$ так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались квадратики всех цветов?
Подробнее
Найдите наибольшее возможное число пересечений диагоналей плоского выпуклого $n$-угольника.
Подробнее