2014-06-08
Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?
Решение:
Каждый из 26 единичных кубиков, отличных от центрального, будем считать либо черным, либо белым в шахматном порядке: 12 кубиков, имеющих ровно по две грани на поверхности большого куба, назовем белыми, а остальные 14 кубиков - черными. Заметим, что в любой паре таких кубиков, имеющих общую грань, один кубик будет белым, а другой - черным. Указанные 26 кубиков мышка съесть не сможет, поскольку в противном случае их можно было бы разбить на 13 пар, каждая из которых состояла бы из белого и черного кубика, а тогда белых и черных кубиков было бы поровну.