2014-06-08
На прямой отмечены $n$ различных точек $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} (n > 4)$. Каждая из этих точек покрашена в один из четырех цветов, причем все четыре цвета присутствуют. Доказать, что существует отрезок прямой, содержащий ровно по одной точке двух цветов и по крайней мере по одной точке двух оставшихся цветов.
Решение:
Без ограничения общности считаем, что $A_{1} < A_{2} < \cdots < A_{n}$. Выберем наименьший номер $i$, для которого среди точек $A_{1}, \cdots, A_{i}$ присутствуют точки всех четырех цветов. Тогда цвет $A_{i}$ отличен от цветов $A_{1}, \cdots, A_{i-1}$. Теперь выберем наибольший номер $j < i$, для которого среди точек $A_{j}, \cdots, A_{i}$ присутствуют точки всех четырех цветов. Тогда цвет $A_{j}$ отличен от цветов $A_{j+1}, \cdots, A_{i}$ и отрезок $[A_{j}; A_{i}]$ - искомый.