Одна окружность находится внутри другой. Их радиусы равны 28 и 12, а кратчайшее расстояние между точками этих окружностей равно 10. Найдите расстояние между центрами.
Подробнее
Дан угол с вершиной $O$, равный $\alpha$. На одной его стороне взята точка $M$ и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке $N$. Точно так же в точке $K$ на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке $P$. Пусть $B$ - точка пересечения прямых $NP$ и $KP$, а $A$ - точка пересечения прямых $OB$ и $NP$. Найдите $OA$, если $OM=a$, $OP=b$.
Подробнее
На окружности радиуса 12 с центром в точке $O$ лежат точки $A$ и $B$. Прямые $AC$ и $BC$ касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке $M$ вписана в треугольник $ABC$ и касается стороны $AC$ в точке $K$, а стороны $BC$ - в точке $H$. Расстояние от точки $M$ до прямой $KH$ равно 3. Найдите величину угла $AOB$.
Подробнее
Площадь ромба $ABCD$ равна 2. В треугольник $ABD$, образованный сторонами $AB,AD$ и диагональю $BD$ данного ромба, вписана окружность, которая касается стороны $AB$ в точке $K$. Через точку $K$ проведена прямая $KL$, параллельная диагонали $AC$ ромба (точка $L$ лежит на стороне $BC$). Найдите угол $BAD$, если известно, что площадь треугольника $KLB$ равна $a$.
Подробнее
Хорды $AB$ и $AC$ равны между собой, угол $BAC$ равен $30^{\circ}$. Найдите отношение площади той части круга, которая заключена внутри этого угла, к площади всего круга.
Подробнее
На основании равностороннего треугольника как на диаметре построена полуокружность, рассекающая треугольник на две части. Сторона треугольника равна $a$. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.
Подробнее
Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$ окружности, рассекает её на две дуги. Длины этих дуг относятся как $1:11$. В каком отношении хорда $AB$ делит площадь круга, ограниченного данной окружностью?
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ как на диаметре описана окружность, которая пересекает сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ в точке $N$. Известно, что $AC=2$, $AB=3$, $AN=1{,}8$. Найдите косинус угла $BAC$.
Подробнее
На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке $D$. Найдите расстояние от вершины $A$ до центра окружности, если $AD=\sqrt{3}$ и $\angle ABC=120^{\circ}$.
Подробнее
На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $K$. Найдите площадь треугольника $CKB$, если катет $AC$ равен $b$, а угол $ABC$ равен $\beta$.
Подробнее
На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $K$. Найдите площадь треугольника $CKB$, если катет $BC=a$ и $AC=b$.
Подробнее
На высоте $CD$, опущенной из вершины $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ на гипотенузу $AB$, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет $AC$ в точке $E$, а катет $BC$ в точке $F$. Найдите площадь четырёхугольника $CFDE$, если катет $AC$ равен $b$, а катет $BC$ равен $a$.
Подробнее
В окружность с центром $O$ вписан треугольник $ABC$ $(\angle A\gt90^{\circ})$. Продолжение биссектрисы $AF$ угла $A$ этого треугольника пересекает окружность в точке $L$, а радиус $AO$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Пусть $AH$ - высота треугольника $ABC$. Найдите отношение площади треугольника $OAL$ к площади четырёхугольника $OEFL$, если известно, что $AL=4\sqrt{2}$, $AH=\sqrt{2\sqrt{3}}$ и $\angle AEH=60^{\circ}$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна 3, угол $BAC$ равен $30^{\circ}$ и радиус описанной окружности равен 2. Докажите, что площадь треугольника $ABC$ меньше 3.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 4, угол $CAB$ равен $60^{\circ}$, а радиус описанной окружности равен 2,2. Докажите, что высота, опущенная из вершины $C$ на $AB$, меньше $\frac{11\sqrt{3}}{5}$.
Подробнее