Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4276
2021-07-14 
Дан угол с вершиной $O$, равный $\alpha$. На одной его стороне взята точка $M$ и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке $N$. Точно так же в точке $K$ на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке $P$. Пусть $B$ - точка пересечения прямых $NP$ и $KP$, а $A$ - точка пересечения прямых $OB$ и $NP$. Найдите $OA$, если $OM=a$, $OP=b$.
Решение:
Пусть $\alpha\lt90^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника $OMN$ находим, что
$MN=OMtg\angle MON=atg\alpha.$
Отрезки $BM$ и $OK$ - высоты треугольника $OBP$, а $N$ - точка их пересечения, значит, $PA$ - также высота этого треугольника. Поскольку $\angle MNP=\angle AOP$, из прямоугольных треугольников $OAP$ и $NMP$ получаем, что
$\cos\angle MNP=\frac{MN}{PN}=\frac{MN}{\sqrt{MN^{2}+MP^{2}}}=\frac{atg\alpha}{\sqrt{a^{2}tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}},$
$\cos\angle AOP=\frac{OA}{OP}=\frac{OA}{b}.$
Из равенства $\frac{OA}{b}=\frac{atg\alpha}{\sqrt{a^{2}tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}}$ находим, что $OA=\frac{abtg\alpha}{\sqrt{a^{2}tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}}$.
Аналогично для случая тупого угла.
Дан угол с вершиной $O$, равный $\alpha$. На одной его стороне взята точка $M$ и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке $N$. Точно так же в точке $K$ на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке $P$. Пусть $B$ - точка пересечения прямых $NP$ и $KP$, а $A$ - точка пересечения прямых $OB$ и $NP$. Найдите $OA$, если $OM=a$, $OP=b$.
Решение:
Пусть $\alpha\lt90^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника $OMN$ находим, что
$MN=OMtg\angle MON=atg\alpha.$
Отрезки $BM$ и $OK$ - высоты треугольника $OBP$, а $N$ - точка их пересечения, значит, $PA$ - также высота этого треугольника. Поскольку $\angle MNP=\angle AOP$, из прямоугольных треугольников $OAP$ и $NMP$ получаем, что
$\cos\angle MNP=\frac{MN}{PN}=\frac{MN}{\sqrt{MN^{2}+MP^{2}}}=\frac{atg\alpha}{\sqrt{a^{2}tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}},$
$\cos\angle AOP=\frac{OA}{OP}=\frac{OA}{b}.$
Из равенства $\frac{OA}{b}=\frac{atg\alpha}{\sqrt{a^{2}tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}}$ находим, что $OA=\frac{abtg\alpha}{\sqrt{a^{2}tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}}$.
Аналогично для случая тупого угла.
