ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-06   
На окружности радиуса 12 с центром в точке $O$ лежат точки $A$ и $B$. Прямые $AC$ и $BC$ касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке $M$ вписана в треугольник $ABC$ и касается стороны $AC$ в точке $K$, а стороны $BC$ - в точке $H$. Расстояние от точки $M$ до прямой $KH$ равно 3. Найдите величину угла $AOB$.


Решение:


Первый способ. Пусть $M'$ - середина меньшей дуги $AB$. Тогда

$\angle M'AB=\frac{1}{2} \breve{M'B} =\frac{1}{2} \breve{M'A} =\angle CAM'.$

Поэтому $AM'$ - биссектриса угла $CAB$. Следовательно, точка $M'$ совпадает с центром $M$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$, $F$ - проекция точки $M$ на $OB$, $Q$ - середина $KH$. Из подобия треугольников $OMF$ и $MHQ$ следует, что

$\frac{MQ}{OF}=\frac{MH}{OM}$, или$\frac{3}{12-r}=\frac{r}{12}.$

Отсюда находим, что $r=6$. Поэтому

$\frac{OF}{OM}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$

Следовательно, $\angle MOB=60^{\circ}$, а $\angle AOB=120^{\circ}$.
Второй способ. Пусть $P$ - середина $AB$, $Q$ - середина $KH$. Обозначим $\angle COB=\alpha$. Тогда

$HB=BP=OB\sin\angle COB=12\sin\alpha.$

С другой стороны,

$HB=BC-CH=OBtg\alpha-MHtg\alpha=\left(12-\frac{3}{\cos\alpha}\right)tg\alpha.$

Таким образом, имеем уравнение

$12\sin\alpha=\left(12-\frac{3}{\cos\alpha}\right)tg\alpha,$

или

$4\cos\alpha=4-\frac{1}{\cos\alpha},$

или

$4\cos^{2}\alpha-4\cos\alpha+1=0.$

Откуда находим, что $\cos\alpha=\frac{1}{2}$. Поскольку $\alpha\lt90^{\circ}$, то $\alpha=60^{\circ}$ и $\angle AOB=2\alpha=120^{\circ}$.